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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知：如图，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=DC=2，点M从点B开始，以每秒1个单位的速度向点C运动；点N从点D开始，沿D→A→B方向，以每秒1个单位精英家教网的速度向点B运动．若点M、N同时开始运动，其中一点到达终点，另一点也停止运动，运动时间为t（t＞0）．过点N作NP⊥BC与P，交BD于点Q．
    （1）点D到BC的距离为
     
    ；
    （2）求出t为何值时，QM∥AB；
    （3）设△BMQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
    （4）求出t为何值时，△BMQ为直角三角形．
    分析：（1）分别过点A，D作BC边上的高，交BC边于E，F，由于四边形ABCD是等腰梯形，可得出BE=CF=（BC-AD）÷2=1，又由AB=DC=2，根据勾股定理可得点D到BC的距离DF=
    		22-1
    =
    		3

    （2）根据（1）得出的DF的值，可求出BD的长为2
    		3
    ，那么三角形BDC是个直角三角形，且∠C=60°，∠DBC=30°，如果QM∥AB，可得出∠PMQ度数也是60°，可先表示出MP的长，然后根据∠PQM的度数表示出PQ，然后根据QP∥DF，得出关于QP，DF，BP，BF的比例关系式，DF的值是定值，可表示出BP，BF，这样就可求出t的值．
    （3）要分两种情况进行讨论
    ①当N在AD上时，关键是求出PQ，可在直角三角形BPQ中，先表示出BP，然后根据∠QBP的度数即可求出PQ的长，然后根据三角形的面积公式即可得出S，t的函数关系式．
    ②N在AB上时，还是要先求出PQ的值，可先表示出BN，然后在直角三角形BNP中，表示出BP，进而在直角三角形BPQ中，用BP表示出PQ，即可根据三角形的面积公式得出S，t的函数关系式．
    （4）也要分两种情况进行讨论．
    第一种情况，当N在AD上时，①当∠BMQ=90°时，那么M，P重合，于是就有BM+ND+FC=BC，即2t+1=4，即可得出t的值．
    ②当∠BQM=90°时，可先在直角三角形NDQ中，用ND的长，表示出NQ，然后根据求出的D到BC的距离，即可表示出PQ，这时PQ的第一种表示方法．第二种表示方法是，在直角三角形BMQ中，用BM表示出QM，然后在直角三角形QPM中，表示出PQ，然后可让这两个表示PQ的式子相等，即可得出此时的t的值．
    第二种情况，当N在AB上时，此时只有∠BQM=90°，方法同②，也是通过不同的表示PQ的方法来得出t的值，方法同（3）②．
    解答：解：（1）
    		3


    （2）过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形AEFD是矩形．精英家教网
    BE=CF=
    BC-AD
    2
    =1．
    直角三角形CFD中，CF=1，CD=2，cos∠C=
    1
    2

    ∴∠C=60°，DF=
    		3
    ．
    ∴∠ABE=∠C=60°
    ∵QM∥AB
    ∴∠QMP=60°
    ∵BM=t，PF=ND=t，FC=1，BC=4
    ∴PM=3-2t，BP=3-t．
    直角三角形QPM中，∠QMP=60°，PM=3-2t，QP=
    		3
    （3-2t）．
    ∵QP⊥BC，DF⊥BC
    ∴QP∥DF，
    ∴△BQP∽△BDF，
    ∴
    BP
    BF
    =
    QP
    DF
    ，即
    3-t
    3
    =
    		3
    (3-2t)
    		3

    ∴5t=6，即t=1.2（s）
    当t=1.2s时，QM∥AB

    （3）当0＜t≤2时，三角形BDF中，BF=3，DF=
    		3
    ，
    ∴BD=2
    		3

    三角形BCD中，CD=2，BD=2
    		3
    ，BC=4，
    因此BD2+CD2=BC2，
    即三角形BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，∠DBC=30°．精英家教网
    直角三角形BQP中，BP=3-t，∠DBC=30°，
    ∴PQ=
    		3
    3
    （3-t）
    因此：S=
    1
    2
    ×t×
    		3
    3
    （3-t）=-
    		3
    6
    t2+
    		3
    2
    t
    当2＜t＜4时，直角三角形NBP中，∠ABC=60°，BN=4-t，
    ∴BP=
    4-t
    2
    ．
    在直角三角形BPQ中，∠DBC=30°，BP=
    4-t
    2
    ，
    ∴QP=
    		3
    (4-t)
    6

    因此：S=
    1
    2
    ×t×
    		3
    (4-t)
    6
    =-
    		3
    12
    t2+
    		3
    3
    t
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    （4）当0＜t≤2时，即N在AD上时，分两种情况进行讨论：
    ①当∠BMQ=90°，即M与P点重合，那么BM+PF+CF=BM+ND+CF=2t+1=4
    解得：t=1.5s．
    ②当∠BQM=90°，在直角三角形NQD中，ND=t，∠ADB=∠DBC=30°，
    ∴NQ=
    		3
    3
    t．
    ∵NP=
    		3

    ∴QP=
    		3
    -
    		3
    3
    t
    在直角三角形BQM中，∠DBC=30°，BM=t
    ∴QM=
    1
    2
    t
    在直角三角形QPM中，∠QMP=60°，QM=
    1
    2
    t
    ∴QP=
    		3
    4
    t
    ∴
    		3
    -
    		3
    3
    t=
    		3
    4
    t．
    解得t=
    12
    7
    s．
    当2＜t＜4时，∠BQM=90°
    直角三角形BNP中，BN=4-t，∠ABC=60°，
    ∴BP=
    4-t
    2
    ，
    ∴PM=BM-BP=t-
    4-t
    2
    =
    3t-4
    2

    在直角三角形BPQ中，∠DBC=30°，BP=
    4-t
    2

    ∴PQ=
    		3
    (4-t)
    6

    直角三角形QPM中，∠QMP=60°，PM=
    3t-4
    2

    ∴PQ=
    		3
    (3t-4)
    2

    因此
    		3
    (4-t)
    6
    =
    		3
    (3t-4)
    2
    ，
    解得t=1.6s，与此时t的取值范围不符，
    因此这种情况不成立．
    综上所述，当t=1.5s或
    12
    7
    s，△BMQ是直角三角形．
    点评：本题主要考查了等腰梯形的性质，相似三角形的性质等知识点，要注意的是（3）（4）都要分情况讨论，不要漏解．
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