Question

【题目】已知两函数：反比例函数和二次函数y＝x2+x+a．

（1）若两个函数的图象都经过点（2，2）．

①求两函数的表达式；

②证明反比例函数的图象经过二次函数图象的顶点．

（2）若二次函数y＝x2+x+a的图象与x轴有两个不同的交点，是否存在实数a，使方程x2+x+a＝0的两个实数根的倒数和等于﹣1？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①，y＝x2+x﹣1；②见解析；（2）不存在符合条件的a的值，理由详见解析

【解析】

（1）①把x＝2，y＝2分别代入两个函数的表达式解出参数即可；

②先求出二次函数的顶点，再代入反比例函数中即可判断；

（2）先根据题意求出a的取值范围，再由根与系数的关系表达出两个实数根的倒数和，解出a的值，并判断是否与a的取值范围相符即可．

（1）①解：根据题意，把x＝2，y＝2分别代入两个函数的表达式，

由2＝得k＝4，

∴反比例函数为，

由2＝1+2+a得a＝﹣1，

∴二次函数为y＝x2+x﹣1，

∴两函数的表达式分别是，y＝x2+x﹣1．

②证明：由y＝x2+x﹣1＝知，

二次函数图象的顶点坐标为（﹣2，﹣2），

又当x＝﹣2时，y＝，

所以反比例函数的图象经过二次函数图象的顶点．

（2）解：不存在符合条件的a的值，

理由：根据题意，由△＝1﹣4×a>0得a<1，

∴a的取值范围是a<1，

设方程x2+x+a＝0的两根分别为x1、x2，

由根与系数关系有：

x1+x2＝﹣4，x1x2＝4a，

又，

若，

得a＝1，这与a＜1不符，

∴不存在符合条件的a的值．