Question

（1）计算：-2²+（tan60°-1）×

3

+（-

1

2

）^-2+（-π）⁰-|2-

3

|
（2）先化简，再求值：（

x+2

x2-2x

-

x-1

x2-4x+4

）÷

x2-16

x2+4x

，其中x=2+

2

．
（3）已知关于x的不等式ax+3＞0（其中a≠0）
①当a=-2时，求此不等式的解，并在数轴上表示此不等式的解集；
②小明准备了十张形状、大小完全相同的不透明卡片，上面分别写有整数-10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，将这10张卡片写有整数的一面向下放在桌面上．从中任意抽取一张，以卡片上的数作为不等式中的系数a，求使该不等式没有正整数解的概率．

Answer 1

分析：（1）原式第一项表示2平方得相反数，第二项利用特殊角的三角函数值化简，第三项利用负指数公式化简，第四项利用零指数公式化简，最后一项根据2-

3

大于0，利用正数的绝对值等于它本身化简，去括号合并后即可得到原式的值；
（2）将原式被除式的两项分母分解因式，通分并利用同分母分式的减法法则计算，除式分子利用平方差公式分解因式，分母提取x分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后得到最简结果，将x的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值；
（3）①将a=-2代入不等式中，移项将未知数x系数化为1，求出不等式的解集，表示在数轴上即可；
②分别将a=-10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3代入不等式，求出不等式的解集，发现不等式解集没有正整数解，而将a=-2，-1代入不等式有正整数解，即可求出该不等式没有正整数解的概率．

解答：解：（1）-2²+（tan60°-1）×

3

+（-

1

2

）^-2+（-π）⁰-|2-

3

|
=-4+（

3

-1）×

3

+4+1-（2-

3

）
=-4+3-

3

+4+1-2+

3

=2；

（2）（

x+2

x2-2x

-

x-1

x2-4x+4

）÷

x2-16

x2+4x

=[

x+2

x(x-2)

-

x-1

(x-2)2

]÷

(x+4)(x-4)

x(x+4)

=

(x+2)(x-2)-x(x-1)

x(x-2)2

•

x

x-4

=

x-4

x(x-2)2

•

x

x-4

=

1

(x-2)2

，
当x=2+

2

时，原式=

1

2

；

（3）①当a=-2时，不等式化为-2x+3＞0，
移项得：-2x＞-3，
解得：x＜1.5，
在数轴上表示，如图所示：
；
②当a=-10时，不等式化为-10x+3＞0，
解得：x＜

3

10

，没有正整数解；
当a=-9时，不等式化为-9x+3＞0，
解得：x＜

1

3

，没有正整数解；
同理当a=-8，-7，-6，-5，-4，-3时，不等式没有正整数解；
当a=-2时，原不等式解集为x＜1.5，正整数解为1；
当a=-1时，原不等式解得x＜3，正整数解为1，2，
则该不等式没有正整数解的概率P=

8

10

=

4

5

．

点评：此题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，以及一元一次不等式的正整数解，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．