Question

已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点M是BE的中点，连接CM．当点D在AB上，点E在AC上时（如图一），连接DM，可得结论：DC=CM．将△ADE绕点A逆时针旋转，当点D在AC上（如图二）或当点E在BA的延长线上（如图三）时，请你猜想DC与CM有怎样的数量关系，并选择一种情况加以证明．

Answer 1

解：（1）DC=CM
如图二，连接DM并延长DM交BC于N，
∵∠EDA=∠ABC=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠MCB，
∵在△EMD和△CMN中，
，
∴△EMD≌△CMN（ASA），
∴CN=DE=DA，MN=MD
∵BA=BC，
∴BD=BN，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，
∴BM⊥DM，∠DBM=∠DBN=45°=∠BDM，
∴△BMD为等腰直角三角形．
∴DC=CM；
（2）DC=CM，
理由：如图三，连接DM，作CN∥DE交DM的延长线于N，连接BN，
∴∠E=∠MCN=45°．
∵点M是BE的中点，
∴EM=CM．
∵在△EMD和△CMN中，

∴△EMD≌△CMN（ASA），
∴CN=DE=DA，MN=MD，
∵∠DAE=∠BAC=∠ACB=45°，
∴∠DAB=∠NCB=90°
∵在△DBA和△NBC中
，
∴△DBA≌△NBC（SAS），
∴∠DBA=∠NBC，DB=BN，
∴∠DBN=∠ABC=90°，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，
∴BM⊥DM，∠DBM=∠DBN=45°=∠BDM，
∴△BMD为等腰直角三角形．
∴DC=CM．
分析：（1）延长DM交BC于N，根据平行线的性质和判定推出∠DEM=∠MCB，根据ASA推出△EMD≌△CMN，证出CN=AD即可；
（2）作CN∥DE交DM的延长线于N，连接BN，根据平行线的性质求出∠E=∠NCM，根据ASA证△DBA≌△NBC，推出△DBN是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出△BMD为等腰直角三角形．
点评：本题综合考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，类比思想的运用，题型较好，难度较大．