Question

【题目】如图, 已知抛物线经过A（-2，0）、B（4，0）、C（0，4）三点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）此抛物线有最大值还是最小值？请求出其最大或最小值；

（3）若点D（2，m）在此抛物线上，在y轴的正半轴上是否存在点P，使得△BDP是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值为；（3）符合条件的点的坐标为或．

【解析】分析：（1）将A（-2，0）、B（4，0）、C（0，4）代入y=ax2+bx+c，运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；

（2）由于二次项系数a=-＜0，所以抛物线有最大值，最大值为，代入计算即可；

（3）先将点D（2，m）代入（1）中所求的抛物线的解析式，求出m的值，得到点D的坐标，然后假设在y轴的正半轴上存在点P（0，y）（y＞0），使得△BDP是等腰三角形，再分三种情况进行讨论：①PB=PD；②BP=BD；③DP=DB；每一种情况都可以根据两点间的距离公式列出关于y的方程，解方程即可．

详解：（1）将A（-2，0）、B（4，0）、C（0，4）代入y=ax2+bx+c，得

，

解得： ，

所以此抛物线的解析式为y=-x2+x+4；

（2）∵y=-x2+x+4，a=-＜0，

∴抛物线有最大值，最大值为；

（3）∵点D（2，m）在抛物线y=-x2+x+4上，

∴m=-×22+2+4=4，

∴D（2，4），

∵B（4，0），

∴BD=．

假设在y轴的正半轴上存在点P（0，y）（y＞0），使得△BDP是等腰三角形，分三种情况：

①如果PB=PD，那么42+y2=22+（y-4）2，解得y=，

所以P1（0，）；

②如果BP=BD，那么42+y2=20，解得y=±2（负值舍去），

所以P2（0，2）；

③如果DP=DB，那么22+（y-4）2=20，解得y=0或8，

y=0不合题意舍去，

y=8时，（0，8）与D，B三点共线，不合题意舍去；

综上可知，所有符合条件的P点的坐标为P1（0，），P2（0，2）．