Question

如图所示，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）用尺规作图：作△ABC的内切圆（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如果AC=8，BC=6，试求△ABC内切圆的半径．

Answer 1

分析：（1）首先由三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，确定圆心，然后作边的垂线，确定半径，继而可求得△ABC的内切圆；
（2）由三角形的面积等于其内切圆的半径与周长积的一半，即可求得△ABC的内切圆的半径．

解答：解：（1）①分别作出∠BAC与∠ABC的角平分线，这两条角平分线的交点是△ABC的内切圆的圆心O，
②过点O作OD⊥BC于点D，
③以O为圆心，OD长为半径画圆，
则⊙O即是△ABC的内切圆；

（2）设△ABC内切圆的半径为r，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=

AC2+BC2

=10，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×8×6=24，AB+AC+BC=24，
∵S_△ABC=

1

2

（AB+AC+BC）r，
∴r=

2S△ABC

AB+AC+BC

=

2×24

24

=2．

点评：此题考查了三角形的内切圆与内心的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．