【题目】如图1，在菱形ABCD中，AB=5，tan∠ABC=
，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t(秒)，将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α(α=∠BCD)，得到对应线段CF．
(1)求证：BE=DF；
(2)当t=___秒时，DF的长度有最小值，最小值等于___；
(3)如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形?
(4)在点E的运动过程中，是否存在到直线AD的距离为1的点F，若存在直接写出 t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析；(2) 8， 4；(3)当t=3或5时，△EPQ是直角三角形；(4)存在， t =
或
【解析】
（1）由∠ECF=∠BCD得∠DCF=∠BCE，结合DC=BC、CE=CF证△DCF≌△BCE即可得； （2）当点E运动至点E′，
时，由DF=BE′知此时DF最小，求得BE′、AE′即可得答案；
（3）①∠EQP=90°时，由∠ECF=∠BCD、BC=DC、EC=FC得∠BCP=∠EQP=90°，根据AB=CD=5 ，tan∠ABC=tan∠ADC=
，即可求得DE；
②∠EPQ=90°时，由菱形ABCD的对角线AC⊥BD知EC与AC重合，可得DE ；
（4）当
在
的上方时，如图3，把
绕Ｃ顺时针旋转
得
，连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，证△DCE≌△GCF，可得∠3=∠4=∠1=∠2，即GF∥CD，从而知四边形CDMN是平行四边形，由平行四边形得MN=CD；再由∠CGN=∠DCN=∠CNG知CN=CG=CD，根据tan∠ABC=tan∠CGN=，可得GM，由GF=DE=t可得FM， 利用tan∠FMH=tan∠ABC= ，即可得
的值．同理可得：当在的下方时的值，
解：（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，
∴∠DCF=∠BCE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC=BC，
在△DCF和△BCE中，
∵ 
∴△DCF≌△BCE（SAS），
∴DF=BE；
（2）如图1， 当点E运动至点E′，时，DF=BE′，此时DF最小，
在Rt△ABE′中，AB=5 ，tan∠ABC=tan∠BAE′=，
∴设AE′=x，则BE′=
，
∴AB=
=
，
则AE′=
∴DE′=
DF=BE′=
故答案为：
；
（3）∵CE=CF， ∴∠CEQ＜90°，
①当∠EQP=90°时，如图2①， ∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，
∴∠CBD=∠CEF，
∵∠BPC=∠EPQ，
∴∠BCP=∠EQP=90°，
∵AB=CD=5，tan∠ABC=tan∠ADC=，
由（1）得：菱形的高：
，
∴DE=3，
∴t=3秒；
②当∠EPQ=90°时，如图2②， ∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，
∴EC与AC重合，
∴DE=5，
∴t=5秒；
综上：当t=3或5时，△EPQ是直角三角形；
（4）存在．
或
理由如下：
当在的上方时，如图3，把绕Ｃ顺时针旋转得，
连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，
由（1）知∠1=∠2，
又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，
∴∠DCE=∠GCF，
在△DCE和△GCF中，
∵
∴△DCE≌△GCF（SAS），
∴∠3=∠4， ∵∠1=∠3，∠1=∠2，
∴∠2=∠4， ∴GF∥CD，
又∵AH∥BN，
∴四边形CDMN是平行四边形，
∴MN=CD=，
∵∠BCD=∠DCG，
∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，
∴GC=CN=CD=5，
∵tan∠ABC=tan∠CGN=，
∴GN=6，
∴GM=11，
∵GF=DE=t，
∴FM=t-11，
∵tan∠FMH=tan∠ABC=，
∴
．
当在的下方时，如图3，把绕Ｃ顺时针旋转得，
连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，
同理可得：四边形CDMN是平行四边形，
由
，
综上：点E的运动过程中，存在到直线AD的距离为1的点F，此时，或
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【题目】商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为80元，用180元购进甲种玩具的件数与用300元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共32件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1350元，求商场共有几种进货方案？
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【题目】材料阅读：
类比是数学中常用的数学思想．比如，我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法，得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．
理解应用：
（1）请仿照上面的竖式方法计算：
；
（2）已知两个多项式的和为
，其中一个多项式为
．请用竖式的方法求出另一个多项式．
（3）已知一个长为
，宽为
的矩形
，将它的长增加8．宽增加
得到一个新矩形
，且矩形的周长是周长的3倍（如图）．同时，矩形的面积和另一个一边长为
的矩形
的面积相等，求
的值和矩形的另一边长．
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【题目】2020春开学为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温，江阴初级中学开通了三条人工测体温的通道，每周一分别由王老师、张老师、李老师三位老师给进校园的学生测体温(每个通道一位老师)，周一有小卫和小孙两学生进校园，在3个人工测体温通道中，可随机选择其中的一个通过．
(1) 求小孙进校园时，由王老师测体温的概率；
(2)求两学生进校园时，都是王老师测体温的概率．
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【题目】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在同一条公路上，匀速行驶，相向而行，到两车相遇时停止.甲车行驶一段时间后，因故停车0.5小时，故障解除后，继续以原速向B地行驶，两车之间的路程y（千米）与出发后所用时间x(小时）之间的函数关系如图所示.
（1）求甲、乙两车行驶的速度V甲、V乙.
（2）求m的值.
（3）若甲车没有故障停车，求可以提前多长时间两车相遇.
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【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）求证：BC2＝4CFAC；
（3）若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．
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【题目】在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为32cm．
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）
（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.9，tan18°≈0.3，
≈1.4，
≈1.7）
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【题目】《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为 1寸，锯道AB=1尺(1尺=10寸)，则该圆材的直径为（ ）
A.13B.24C.26D.28
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