Question

如图，直线分别交轴、轴于B、A两点，抛物线L：的顶点G在轴上，且过(0，4)和(4，4)两点.

1.求抛物线L的解析式；

2.抛物线L上是否存在这样的点C，使得四边形ABGC是以BG为底边的梯形，若存在，请求出C点的坐标，若不存在，请说明理由.

3.将抛物线L沿轴平行移动得抛物线L，其顶点为P，同时将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB，使点D落在抛物线L上. 试问这样的抛物线L是否存在，若存在，求出L对应的函数关系式，若不存在，说明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

1.∵抛物线L过(0，4)和(4，4)两点,由抛物线的对称性知对称轴为, ∴G(2，0)，将(2，0)、(4,4)代入，得，

      解得.   ∴抛物线L的解析式为.……………………3分

2.∵直线分别交轴、轴于B、A两点，∴A(0，3)，B(-，0).

     若抛物线L上存在满足的点C，则AC∥BG,

     ∴C点纵坐标此为3，设C(，3)，又C在抛物线L，代人解析式：

      , ,  ∴,.……………………5分

     当时,  BG=,  AG=,

     ∴BG∥AG且BG=AG，此时四边形ABGC是平行四边形，舍去,

     当时,  BG=,  AG=,

     ∴BG∥AG且BG≠AG,此时四边形ABGC是梯形.

故存在这样的点C，使得四边形ABGC是以BG为底边的梯形，其坐标为：

C(，3).  …………………………………………7分

3.假设抛物线L是存在的，且对应的函数关系式为, ∴顶点P(，0).

     Rt△ABO中，AO=3，BO=，可得∠ABO=60°，又△ABD≌△ABP.

∴∠ABD=60°，BD=BP=.……………………8分

如图，过D作DN⊥轴于N点，Rt△BND中，BD=， ∠DBN=60°

∴DN=，BN=，∴D(，)，   

即D(，)，又D点在抛物线上，

∴，整理：.

解得,，当时，P与B重合，不能构成三角形，舍去，

     ∴当时，此时抛物线为.……………………11分

 【解析】略