练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    （2008•台州）如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=3，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y．

    （1）求∠CQP的度数；
    （2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上；
    （3）①求y与x之间的函数关系式；
    ②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的．
    【答案】分析：（1）由于PQ与BD平行，∠CQP=∠CDB，因此只需求出∠CDB的度数即可．可在直角三角形ABD中，根据AB，AD的长求出∠ABD的度数，由∠CQP=∠CDB=∠ABD即可得出∠CQP的度数；
    （2）当R在AB上时，三角形PBR为直角三角形，且∠BPR=60°（可由（1）的结论得出），根据折叠的性质PR=CP=x，然后用x表示出BP的长，在直角三角形可根据∠RPB的余弦值得出关于x的方程即可求出x的值；
    （3）①要分两种情况进行讨论：
    一、当R在AB或矩形ABCD的内部时，重合部分是三角形PQR，那么重合部分的面积可通过求三角形CQP的面积来得出，在直角三角形CQP中，已知了∠CQP的度数，可用CP即x的值表示出CQ的长，然后根据三角形的面积计算公式可得出y，x的函数关系式；
    二、当R在矩形ABCD的外部时，重合部分是个四边形的面积，如果设RQ，RP与AB的交点分别为E、F，那么重合部分就是四边形EFPQ，它的面积=△CQR的面积-△REF的面积．△CQR的面积在一已经得出，关键是求△REF的面积，首先要求出的是两条直角边RE，RF的表达式，可在直角三角形PBF中用一的方法求PF的长，即可通过RP-PF得出RF的长；在直角三角形REF中，∠RFE=∠PFB=30°，可用其正切值表示出RE的长，然后可通过三角形的面积计算公式得出三角形REF的面积．进而得出S与x的函数关系式；
    ②可将矩形的面积代入①的函数式中，求出x的值，然后根据自变量的取值范围来判定求出的x的值是否符合题意．
    解答：解：（1）如图，∵四边形ABCD是矩形，
    ∴AB=CD，AD=BC．
    又AB=9，AD=3，∠C=90°，
    ∴CD=9，BC=．
    ∴tan∠CDB=，
    ∴∠CDB=30°．
    ∵PQ∥BD，
    ∴∠CQP=∠CDB=30°；

    （2）如图1，由轴对称的性质可知，△RPQ≌△CPQ，
    ∴∠RPQ=∠CPQ，RP=CP．
    由（1）知∠CQP=30°，
    ∴∠RPQ=∠CPQ=60°，
    ∴∠RPB=60°，
    ∴RP=2BP．
    ∵CP=x，
    ∴PR=x，PB=-x．
    在△RPB中，根据题意得：2（-x）=x，
    解这个方程得：x=2；

    （3）①当点R在矩形ABCD的内部或AB边上时，
    ，，
    ∵△RPQ≌△CPQ，
    ∴当0＜x≤时，
    当R在矩形ABCD的外部时（如图2），，
    在Rt△PFB中，
    ∵∠RPB=60°，
    ∴PF=2BP=2（-x），
    又∵RP=CP=x，
    ∴RF=RP-PF=3x-6，
    在Rt△ERF中，
    ∵∠EFR=∠PFB=30°，
    ∴ER=x-6．
    ∴S△ERF=ER×FR=x2-18x+18，
    ∵y=S△RPQ-S△ERF，
    ∴当时，y=x2+18x-18．
    综上所述，y与x之间的函数解析式是：．
    ②矩形面积=，
    当时，函数随自变量的增大而增大，
    所以y的最大值是，而矩形面积的的值=，
    而，所以，当时，y的值不可能是矩形面积的；
    当时，根据题意，得：，
    解这个方程，得，
    因为，
    所以不合题意，舍去．
    所以．
    综上所述，当时，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积等于矩形面积的．
    点评：本题结合了矩形的性质以及折叠的性质考查了二次函数的综合应用，要注意的是（3）中要根据R点的不同位置进行分类讨论，不要漏解．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源：2008年全国中考数学试题汇编《二次函数》（06）（解析版） 题型：解答题

    （2008•台州）如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=3，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y．

    （1）求∠CQP的度数；
    （2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上；
    （3）①求y与x之间的函数关系式；
    ②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2008年浙江省台州市中考数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （2008•台州）如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=3，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y．

    （1）求∠CQP的度数；
    （2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上；
    （3）①求y与x之间的函数关系式；
    ②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2009年湖北省十堰市郧西县中考适应性考试数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （2008•台州）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABO的三个顶点A，B，O都在格点上．
    （1）画出△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到的三角形；
    （2）求△ABO在上述旋转过程中所扫过的面积．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2009年福建省泉州市洛江区初中学业质量检查数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （2008•台州）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABO的三个顶点A，B，O都在格点上．
    （1）画出△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到的三角形；
    （2）求△ABO在上述旋转过程中所扫过的面积．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案