Question

已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，E、F分别为AD、AB中点，G为BC边上一点，且GE=GF．
（1）求证：∠AEG=∠AFG；
（2）猜想：当AB=______GC时，四边形GCDE为平行四边形，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接AD，可通过证明AB=AD得到AE=AF，又AG=AG，GE=GF，继而可以证明AEG≌△AFG（SSS），所以又∠AEG=∠AFG；
（2）根据一组对边平行且相等即可证明这个四边形为平行四边形，当AB=2GC时，可得出ED=GC，又AD∥BC，继而即可判断四边形GCDE为平行四边形．
解答：证明：（1）连接AG，如图所示：

∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．
∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD．
∵E、F分别为AD、AB中点，∴AF=AE（4分）
又∵GE=GF，AG=AG，
∴AEG≌△AFG（SSS）．
∴∠AEG=∠AFG．

（2）当AB=2GC时，四边形GCDE为平行四边形．
理由如下：
∵AB=AD，E为AD中点，
∴AB=2ED．
∵AB=2GC，∴ED=GC．
又AD∥BC，即是ED∥GC，
∴四边形GCDE为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）．
点评：本题考查梯形的知识，同时涉及全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定，有一定的难度，要求熟练掌握这些知识，才能顺利解答这类综合题目．