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    【例3】 设函数f(x)= -ax,其中a>0,求a的取值范围,使函数f(x)在［0，+∞)上为单调函数.

    解:任取x1、x2∈［0,+∞)且x1<x2,则

    f(x1)-f(x2)= --a(x1-x2)

    =-a(x1-x2)

    =(x1-x2)(-a).

    (1)当a≥1时,∵<1,

    又∵x1-x2<0,

    ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).

    ∴a≥1时，函数f(x)在区间［0，+∞)上为减函数.

    (2)当0<a<1时，在区间［0，+∞)上存在x1=0,x2=,满足f(x1)=f(x2)=1,

    ∴0<a<1时，f(x)在［０,+∞)上不是单调函数.

    评注: ①判断单调性常规思路为定义法;②变形过程中<1利用了>|x1|≥x1, >x2这个结论;③从a的范围看还需讨论0<a<1时f(x)的单调性，这也是数学严谨性的体现.

    三、反函数的理解及应用

    【例4】 设函数f(x)=，已知函数y=g(x)的图象与y=f--1(x+1)的图象关于直线y=x对称，求g(3)的值.

    分析一:f(x)→f-1(x)→f-1(x+1)→g(x)→g(3).

    解法一:由y=f(x)= ,得f--1(x)= ,

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    f(x1)-f(x2)= --a(x1-x2)

    =-a(x1-x2)

    =(x1-x2)(-a).

    (1)当a≥1时,∵<1,

    又∵x1-x2<0,

    ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).

    ∴a≥1时，函数f(x)在区间［0，+∞)上为减函数.

    (2)当0<a<1时，在区间［0，+∞)上存在x1=0,x2=,满足f(x1)=f(x2)=1,

    ∴0<a<1时，f(x)在［０,+∞)上不是单调函数.

    评注: ①判断单调性常规思路为定义法;②变形过程中<1利用了>|x1|≥x1, >x2这个结论;③从a的范围看还需讨论0<a<1时f(x)的单调性，这也是数学严谨性的体现.

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    =-a(x1-x2)

    =(x1-x2)(-a).

    (1)当a≥1时,∵<1,

    又∵x1-x2<0,

    ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).

    ∴a≥1时，函数f(x)在区间［0，+∞)上为减函数.

    (2)当0<a<1时，在区间［0，+∞)上存在x1=0,x2=,满足f(x1)=f(x2)=1,

    ∴0<a<1时，f(x)在［０,+∞)上不是单调函数.

    评注: ①判断单调性常规思路为定义法;②变形过程中<1利用了>|x1|≥x1, >x2这个结论;③从a的范围看还需讨论0<a<1时f(x)的单调性，这也是数学严谨性的体现.

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    =-a(x1-x2)

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    ∴0<a<1时，f(x)在［０,+∞)上不是单调函数.

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