Question

【题目】如图，已知正方形ABCD的边长为4 cm，点E从点A出发，以1cm/s的速度沿着折线A→B→C运动，到达点C时停止运动；点F从点B出发，也以1cm/s的速度沿着折线B→C→D运动，到达点D时停止运动．点E、F分别从点A、B同时出发，设运动时间为t（s）．

（1）当t为何值时，E、F两点间的距离为2cm；

（2）连接DE、AF交于点M，

①在整个运动过程中，CM的最小值为 cm；

②当CM＝4 cm时，此时t的值为 .

Answer 1

【答案】（1）t1＝2+，t2＝2－； t3＝6+，t4＝6－. （2）① 2－2；② 2或8.

【解析】

（1）分情况讨论确定E,F的位置，根据勾股定理求值；

（2）①根据题意分析出点M的运动轨迹是圆，然后根据两点之间线段最短确定最小值；

②求证△DAM≌△CDN，△DAE∽△DMA，分情况讨论求解.

（1） 解：当E、F两点分别在AB、BC上时，

则AE= t，EB=4－t，BF= t

∵EB2＋BF2＝EF2

∴t2＋（4－t）2＝(2)2

∴ t1＝2+，t2＝2－.

当E、F两点分别在BC、CD上时，

则CE=8－t，EB=t－4

∵CE2＋CF2＝EF2

∴(8－t)2＋（t－4）2＝(2)2

∴ t1＝6+，t2＝6－.

（2）

∵E,F两点速度相同，∴AE=BF

又∵正方形ABCD中，AD=BA,∠DAB=∠B=90°，

∴△DAE≌△ABF，

∴∠ADE=∠BAF

∴∠ADE+DAF=90°，即∠AMD=90°

所以点M在以O为圆心，AD为直径的圆上，连接OC交圆O于点M1,此时CM长度最短，在Rt△DOC中，CO=

所以CM的最小值为 cm；

②

如图，过点C作CN⊥DE，由题意易证：△DAM≌△CDN，∴DN=AM，又∵CM=CD=4,且CN⊥DE，∴DM=2AM,即

由上一问可知：∠AMD=90°，∴∠DAE=∠AMD,∠ADM=∠EDA

∴△DAE∽△DMA

∴

∴t=AE=2，

当点E到达点C,点F到达点D，此时AM=4，此时t=8,

综上，当CM＝4 cm时，此时t的值为2或8.