Question

【题目】

如图1，抛物线y=ax2+bx+ ，经过A（1，0）、B（7，0）两点，交y轴于D点，以AB为边在x轴上方作等边△ABC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点M，是S△ABM= S△ABC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P．
①若CE=BF，试猜想AF与BE的数量关系及∠APB的度数，并说明理由；
②若AF=BE，当点E由A运动到C时，请直接写出点P经过的路径长（不需要写过程）．

Answer 1

【答案】
（1）解：将点A（1，0），B（7，0）代入抛物线的解析式得： ，

解得：a= ，b=﹣2．

∴抛物线的解析式为y= x2﹣2x+ ．

（2）解：存在点M，使得S△ABM= S△ABC．

理由：如图所示：过点C作CK⊥x轴，垂足为K．

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=BC=AC=6，∠ACB=60°．

∵CK⊥AB，

∴KA=BK=3，∠ACK=30°．

∴CK=3 ．

∴S△ABC= ABCK= ×6×3=9 ．

∴S△ABM= ×9 =12．

设M（a， a2﹣2a+ ）．

∴ AB|y|=12，即 ×6×（ a2﹣2a+ ）=12，

解得：a1=9，a2=﹣1．

∴点M的坐标为（9，4）或（﹣1，4）．

（3）解：①结论：AF=BE，∠APB=120°．

∵△ABC为等边三角形，

∴BC=AB，∠C=∠ABF．

∵在△BEC和△AFB中 ，

∴△BEC≌△AFB．

∴AF=BE，∠CBE=∠BAF．

∴∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°．

∴∠APB=180°﹣60°=120°．

②当AE≠BF时，由①可知点P在以M为圆心，在以AB为弦的圆上，过点M作MK⊥AB，垂足为k．

∵∠APB=120°，

∴∠N=60°．

∴∠AMB=120°．

又∵MK⊥AB，垂足为K，

∴AK=BK=3，∠AMK=60°．

∴AK=2 ．

∴点P运动的路径= = ．

当AE=BF时，点P在AB的垂直平分线上时，如图所示：过点C作CK⊥AB，则点P运动的路径=CK的长．

∵AC=6，∠CAK=60°，

∴KC=3 ．

∴点P运动的路径为3 ．

综上所述，点P运动的路径为3 或 ．

【解析】（1）将点A（1，0），B（7，0）代入抛物线的解析式得到关于a、b方程组，解关于a、b的方程组即可求得a、b的值；
（2）过点C作CK⊥x轴，垂足为K．依据等边三角形的性质可求得CK然后依据三角形的面积公式结合已知条件可求得S△ABM的面积，然后依据三角形的面积公式可得到关于a的方程，从而可得到点M的坐标；
（3）①首先证明△BEC≌△AFB，依据全等三角形的性质可知：AF=BE，∠CBE=∠BAF，然后通过等量代换可得∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°，最后依据三角形的内角和定理可求得∠APB；
②当AE≠BF时，由①可知点P在以AB为直径的圆上，过点M作ME⊥AB，垂足为E．先求得⊙M的半径，然后依据弧长公式可求得点P运动的路径；当AE=BF时，点P在AB的垂直平分线上时，过点C作CK⊥AB，则点P运动的路径=CK的长．