Question

已知：如图，经过原点的抛物线的顶点为P，这条抛物线的对称轴x=2与x轴相交于点A，点B、C在这条抛物线上，如果四边形OABC是菱形，
（1）求∠AOC的度数；
（2）求以这条抛物线为图象的二次函数的解析式；
（3）试探究：△ACP是否为直角三角形？并证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD是菱形，可得BC∥AO，又由PA⊥AO，然后根据抛物线的对称性可得：AC=AB则可证得△AOC是等边三角形，即可求得∠AOC的度数；
（2）由（1）即可求得点C与D的坐标，即可设所求二次函数的解析式为y=ax²+bx，然后利用待定系数法即可求得此二次函数的解析式；
（3）由（1）即可求得顶点P的坐标即可求得PA，PC，AC的长，然后由勾股定理的逆定理，即可判定△ACP是直角三角形．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AO．
∵PA⊥AO，
∴PA⊥BC．（1分）
由抛物线的对称性可得：AC=AB．（1分）
∴AC=AO=OC．
∴∠AOC=60°．（1分）

（2）由（1）可得，点C的坐标为（1，

3

），点B的坐标为（3，

3

）．（2分）
设所求二次函数的解析式为y=ax²+bx．
∵这个函数的图象经过点B和点C，
∴

3 =a+b  3 =9a+3b

，
解得

a=- 3 3   b= 4 3 3

，（1分）
∴所求的二次函数的解析式为：y=-

3

3

x²+

4 3

3

x．（1分）

（3）是．（1分）
证明：由条件得顶点P的坐标为（2，

4

3

3

），（1分）
∴PA=

4 3

3

，PC=

2 3

3

，AC=2．
∴PA²=PC²+AC²．（1分）
∴△ACP是直角三角形．

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，菱形的性质，勾股定理的逆定理的应用等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．