Question

【题目】如图，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若过原点的直线与直线分别交抛物线于点、，

①当时，试求的面积；

②试证明：不论实数取何值，直线总是经过一定点．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①20；②详见解析

【解析】

（1）如图，由题意可得OB=，∠ABO=60°，然后在Rt△BOF中，利用解直角三角形的知识求出BF和OF的长，进而可得点B坐标，然后代入抛物线的解析式即可求出结果；

（2）①先解方程组求出点C、D的坐标，再利用待定系数法求出直线CD的解析式，然后即可求出直线与轴的交点，再根据计算即可；

②先解方程组求出点C、D的坐标，再利用待定系数法求出直线CD的解析式，然后即可求出直线与轴的交点，进而可得结论．

解：（1）如图，等边△的边长为，

∴OB=，∠ABO=60°，

则在Rt△BOF中，BF=4，，

，

又点在抛物线上，

，解得：，

故所求的解析式为；

（2）①解方程组，得，，∴，

解方程组，得，，∴，

设直线的解析式为，

，解得：，

所以直线的解析式为，

设直线与轴交于点，则，如图，

∵，，

；

②解方程组，得，，∴，

解方程组，得，，∴，

设直线解析式为，

，解得：，

所以直线的解析式为，

所以不论实数取何值，直线总过定点．