如图①.P为△ABC内一点.连接PA.PB.PC.在△PAB.△PBC和△PAC中.如果存在一个三角形与△ABC相似.那么就称P为△ABC的自相似点 ⑴如图②.已知Rt△ABC中.∠ACB=90°.∠ACB＞∠A.CD是AB上的中线.过点B作BE⊥CD.垂足为E.试说明E是△ABC的自相似点． ⑵在△ABC中.∠A＜∠B＜∠C． ①如图③.利用尺规作出△ABC的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点

⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．

⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．

①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；

②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．

【根据2011江津市中考试第17题改编】

解⑴在Rt △ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，

∴，∴CD=BD．

∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，

∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC．

∴E是△ABC的自相似点．

⑵①作图略．

作法如下：（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；

（ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P．

则P为△ABC的自相似点

②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，

∴，．

∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC．

∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A，

∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．

∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．

∴．∴该三角形三个内角的度数分别为、、．

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（1）如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB=AC+CD；
（2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；
（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．