Question

已知关于x的方程kx²-（2k-1）x+k-1=0（k为整数）的根为正整数，如图，梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线y=

1-k

x

交OB于D，且OD：DB=1：2，求△OBC的面积．

Answer 1

分析：分类讨论：当k=0，方程变形为：x-1=0，解得x=1；当k≠0，先运用因式分解法解一元二次方程得到x₁=

k-1

k

，x₂=1，由于关于x的方程kx²-（2k-1）x+k-1=0（k为整数）的根为整数，则由x₁=

k-1

k

=1-

1

k

得到k=±1，k=1此时1-k=0舍去，k=-1时，得到双曲线的解析式为y=

2

x

，进而求出k=0时，y=

1

x

，设D点坐标为（a，b），易得B点坐标为（3a，3b），然后根据三角形面积公式进行计算得出即可．

解答：解：过点D作DE⊥AO于点E，延长BC于点E，
当k=0，方程变形为：x-1=0，解得x=1；
当k≠0，
∵[kx-（k-1）]（x-1）=0，
∴x₁=

k-1

k

，x₂=1，
∵关于x的方程kx²-（2k-1）x+k-1=0（k为整数）的根为整数，
而x₁=

k-1

k

=1-

1

k

，
∴k=±1，
∵当k=1时，1-k=0，此时双曲线y=

1-k

x

系数为0，不合题意舍去，
当k=-1时，1-k=2，
∴综上所述：k=0，或k=-1，
∴双曲线的解析式为y=

1

x

或y=

2

x

，
当双曲线的解析式为y=

1

x

，
设D点坐标为（a，b），
∵DE∥AB，OD：DB=1：2，
∴

DE

AB

=

OE

OA

=

1

3

，
∴B点坐标为：（3a，3b），
∴S_△OBE=

1

2

×3a×3b=

9ab

2

，
∵S_△OCE=

1

2

CE×EO=

1

2

，
S_△DOE=

1

2

DE×EO=

ab

2

=

1

2

，
∴S_△OBE=

9ab

2

=

9

2

，
∴S_△OBC=S_△OBE-S_△OCE=

9

2

-

1

2

=4．

当双曲线的解析式为y=

2

x

，
有以上可得：∵S_△OCE=

1

2

CE×EO=1，
S_△DOE=

1

2

DE×EO=

ab

2

=1，
∴S_△OBE=

9ab

2

=9，
∴S_△OBC=S_△OBE-S_△OCE=9-1=8．
综上所述：当k=0时△OBC的面积为4，当k=-1时△OBC的面积为8．

点评：本题考查了反比例函数综合题以及运用因式分解法解一元二次方程和三角形面积求法等知识；利用分类讨论的思想方法得出k的值是解题关键．