Question

如图，BC为半圆O的直径，点F是弧BC上一动点（点F不与B、C重合），A是弧BF上的中点，设∠FBC=α，∠ACB=β．
（1）当α=50°时，求β的度数．
（2）猜想α与β之间的关系，并给与证明．

Answer 1

解：（1）连接FC
∵BC为半圆O的直径
∴∠BFC=90°
∵A是弧BF上的中点
∴∠ACB=∠BCF=（90°-50°）=20°．

（2）α+2β=90°
∵A是弧BF上的中点
∴∠ACB=∠BCF=（90°-α）=β
即α+2β=90°．
分析：（1）可连接FC，那么∠BFC就是个直角，根据A是弧BF的中点，那么要求∠ACB的度数，实际就是求∠BCF的度数，在直角三角形BFC中，∠BCF+∠FBC=90°，也就是2∠ACB+∠FBC=90°，因此有了α即∠FBC的度数，就能求出β即∠ACB的度数．
（2）方法同（1）
点评：本题主要考查了圆周角定理的应用，本题通过构建直角三角形来求度数是解题的关键．