Question

问题：在平面直角坐标系中，直线y=-

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2

x+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y=x-1于点C．过点A作y轴的平行线交直线y=x-1于点D．点E为线段AD上一点，且tan∠DCE=

1

2

．点P从原点O出发沿OA边向点A匀速移动，同时，点Q从B点出发沿BO边向原点O匀速移动，点P与点Q同时到达A点和O点，设BQ=m．
（1）求点E的坐标；
（2）在整个移动过程中，是否存在这样的实数m，使得△PQD为直角三角形？若存在这样的实数m，求m的值；若不存在，请说明理由；
（3）函数y=

k

x

经过点C，R为y=

k

x

上一点，在整个移动过程中，若以P、Q、E、R为顶点的四边形是平行四边形，求R点的坐标．
要求：①解答上面问题；
②根据你对上面问题的解答，任意选择其中一问，说出你的主要解题思路．

Answer 1

分析：（1）设CE交AD于点E，作EF⊥OA于F．直线y=-

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2

x+5中我们可以求出与x轴和y轴的交点坐标，从而求出OA、OB的长度，可以得到tan∠OAB=

1

2

可以求出直线y=x-1与坐标轴的交点，得到△ADG是个等腰直角三角形，利用三角形相似，求出DE的长，从而求出E点的坐标．
（2）当△PQD是直角三角形时，就有△OQP∽△APD，利用对应边成比例可以求出m的值．
（3）因为PERQ是平行四边形，∴就有对边QR=PE，连接对角线就可以证明∠1=∠2，从而证明∠5=∠EPA，利用三角形全等求出线段的长度求出R的坐标．

解答：解：（1）作CF⊥OA于F
∵y=-

1

2

x+5交x轴于点A，交y轴于点B
∴当x=0时，y=5，即OB=5
当y=0时，x=10，即OA=10
∴tan∠OAB=

1

2

∵tan∠DCE=

1

2

∴∠OAB=∠DCE
设直线OD交坐标轴分别于点G、H，当x=0时，y=-1，即OH=1
当y=0时，x=1，即OG=1
∴OG=OH，
∴∠OGH=45°
∴∠GDA=∠GAD=45°，在y=x-1中，当x=10时，y=9
∴AD=9
∴GD=9

2

∵y=-

1

2

x+5与y=x-1相交于点C，求得C点坐标为：C（4，3）
∴CF=3，∴GC=3

2

，
∴CD=6

2

∵△GCA∽△DEC
∴

GC

DE

=

GA

DC

∴

3 2

DE

=

9

6 2

∴DE=4，∴AE=5
∵AD⊥x轴
∴E（10，5）；

（2）∵点P与点Q同时分别从B点和O点运动，同时到达A点和O点，且OA是OB的2倍
∴P点运动的速度是Q点的2倍
∵QB=m，
∴OP=2m
∴QO=5-m，PA=10-2m
∵△PQD为直角三角形
∴△QOP∽△PAD
∴

QO

PA

=

OP

AD

∴

5-m

10-2m

=

2m

9

解得：m₁=5，m₂=

9

4

；
当m=1时，∠DQP=90°．

（3）过点R作HR∥OA交OB于点H，连接PR
∴∠DRP=∠OAR，∠3=∠4
∵四边形RQPE是平行四边形，
∴∠3=∠4，∠QRE=∠QPE，QR=AE
∴∠2=∠1
∴∠5=∠EPA
∴△RHQ≌△PAE
∴RH=PA，QH=AE
∴RH=10-2m，HQ=5
∵函数y=

k

x

经过点C
∴k=12
y=

12

x

，设R坐标为（a，b）
∴HO=5+5-m=10-m，HR=10-2M
∴a=10-2m，b=10-m
∴（10-2m）（10-m）=12
∴m₁=11（不符合题意），m₂=4
∴a=2，b=6
∴R（2，6）．

点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了相似三角形的性质和判定，点的坐标的求法，平行四边形的性质，全等三角形的性质的运用，直角三角形的性质．