Question

如图，△ABC是等腰三角形，∠C=90°，O是△ABC内一点，点O到△ABC各边的距离等于1，将△ABC绕点O顺时针旋转45°得到△A₁B₁C₁，两三角形的公共部分为多边形KLMNPQ．
①证明：△AKL，△BMN，△CPQ都是等腰直角三角形．
②求证：△ABC与△A₁B₁C₁公共部分的面积．

Answer 1

证明：①连接OC、OC₁，分别交PQ、NP于点D、E，根据题意得∠COC₁=45°．
∵点O到AC和BC的距离都等于1，
∴OC是∠ACB的平分线．
∵∠ACB=90°∴∠OCE=∠OCQ=45°
同理∠OC₁D=∠OC₁N=45°
∴∠OEC=∠ODC₁=90°
∴∠CQP=∠CPQ=∠C₁PN=∠C₁NP=45°
∴△CPQ和△C₁NP都是等腰直角三角形．
∴∠BNM=∠C₁NP=45°∠A₁QK=∠CQP=45°，
∵∠B=45°∠A₁=45°，
∴△BMN和△A₁KQ都是等腰直角三角形．
∴∠B₁ML=∠BMN=90°，∠AKL=∠A₁KQ=90°
∴∠B₁=45°∠A=45°
∴△B₁ML和△AKL也都是等腰直角三角形．

②在Rt△ODC₁和Rt△OEC中，
∵OD=OE=1，∠COC₁=45°
∴OC=OC₁=

2

∴CD=C₁E=

2

-1
∴PQ=NP=2（

2

-1）=2

2

-2，CQ=CP=C₁P=C₁N=

2

（

2

-1）=2-

2

∴S△CPQ=

1

2

×(2-

2

)2=3-2

2

延长CO交AB于H
∵CO平分∠ACB，且AC=BC
∴CH⊥AB，
∴CH=CO+OH=

2

+1
∴AC=BC=A₁C₁=B₁C₁=

2

（

2

+1）=2+

2

，
∴S△ABC=

1

2

×(2+

2

)2=3+2

2

，
∵A₁Q=BN=（2+

2

）-（2

2

-2）-（2-

2

）=2，
∴KQ=MN=

2

2

=

2

，
∴S△BMN=

1

2

×(

2

)2=1，
∵AK=（2+

2

）-（2-

2

）-

2

=

2

，
∴S△AKL=

1

2

×(

2

)2=1，

∴S多边形KLMNPQ=S△ABC-S△CPQ-S△BMN-S△AKL =(3+2 2 )-(3-2 2 )-1-1 =4 2 -2