Question

已知抛物线y=

1

2

x²+bx+c经过x轴上点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求a、b的值；
（2）试判断△BOC的外接圆P与直线AC的位置关系，并说明理由；
（3）将△AOC绕点O旋转一周，旋转过程中，AC对应的直线平行于BC，试求旋转后对应的点A的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线y=

1

2

x²+bx+c经过A（-2，0），B（4，0），
∴

1 2 ×4-2b+c=0 1 2 ×16+4b+c=0

，
解得

b=-1 c=-4

；

（2）直线AC与⊙P相交．
理由如下：由（1）可知，抛物线的解析式为y=

1

2

x²-x-4，
令x=0，则y=-4，
所以，点C的坐标为（0，-4），
∵A（-2，0），B（4，0），
∴OA=2，OB=OB=4，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
BC是△BOC的外接圆P的直径，
∵tan∠ACO=

OA

OC

=

2

4

=

1

2

，
∴∠ACO＜45°，
∴∠ACB＜90°，
∵点C在⊙P上，
∴直线AC与⊙P相交；

（3）如图，设△AOC旋转得到△A′OC′，A′C′交x轴于E，
∵A′C′∥BC，
∴∠A′EO=∠OBC=45°，
过点O作OD⊥A′C′于D，则△ODE是等腰直角三角形，
根据勾股定理，AC=

22+42

=2

5

，
S_△AOC=

1

2

×2

5

•OD=

1

2

×2×4，
解得OD=

4 5

5

，
∴DE=OD=

4 5

5

，
OE=

2

×

4 5

5

=

4 10

5

，
又∵tcos∠A′=

A′D

A′O

=

A′O

A′C′

，
即

A′D

2

=

2

2 5

，
解得A′D=

2 5

5

，
∴A′E=A′D+DE=

2 5

5

+

4 5

5

=

6 5

5

，
过点A′作AF⊥x轴于F，
∵∠A′EO=45°，
∴△A′EF是等腰直角三角形，
∴A′F=EF=

2

2

×

6 5

5

=

3 10

5

，
∴OF=OE-EF=

4 10

5

-

3 10

5

=

10

5

，
∴点A′的坐标为（-

10

5

，

3 10

5

），
当点A旋转到第四象限时，与A′关于原点对称，
点A的对应点的坐标为（

10

5

，-

3 10

5

），
综上所述，旋转后对应的点A的坐标为（-

10

5

，

3 10

5

）或（

10

5

，-

3 10

5

）．