Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取一点O,以点O为圆心，OF为半径作⊙O与AD相切于点P.AB=6，BC=

（1）求证：F是DC的中点.

（2）求证：AE=4CE.

（3）求图中阴影部分的面积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）易求DF长度即可判断；

（2）通过30°角所对的直角边等于斜边一半证得AE=2EF，EF=2CE即可得；

（3）先证明△OFG为等边三角形，△OPG为等边三角形，即可确定扇形圆心角∠POG和∠GOF的大小均为60°,所以两扇形面积相等， 通过割补法得出最后阴影面积只与矩形OPDH和△OGF有关，根据面积公式求出两图形面积即可.

（1）∵AF=AB=6,AD=BC=,

∴DF=3,

∴CF=DF=3,

∴F是CD的中点

（2）∵AF=6, DF=3,

∴∠DAF=30°，

∴∠EAF=30 ,

∴AE=2EF;

∴∠EFC=30 ,EF=2CE,

∴AE=4CE

（3）如图，连接OP,OG,作OH⊥FG,

∵∠AFD=60°,OF=OG,

∴△OFG为等边三角形，

同理△OPG为等边三角形，

∴∠POG=∠FOG=60°,OH= ,

∴S扇形OPG=S扇形OGF,

∴S阴影=（S矩形OPDH-S扇形OPG-S△OGH）+(S扇形OGF-S△OFG)=S矩形OPDH-S△OFG

= ,

即图中阴影部分的面积.