Question

【题目】如图，在中，，，，点是线段上任意一点，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点．设线段的长为．

（1）用含的代数式表示线段的长．

（2）当四边形为菱形时，求的值．

（3）设与矩形重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式．

（4）连结、，当与垂直或平行时，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）；（3）；（4）的值是或．

【解析】

（1）先根据平行线分线段成比例定理可得：，所以表示CE=2x，AE=4-2x，同理得EF的长，证明四边形CEFG为矩形，可得CG=EF=2-x，分P在G的左侧和右侧分别计算PG的长；

（2）先根据两组对边分别平行可得四边形EPBF是平行四边形，当EF=EP时，列方程解出即可；

（3）先计算当P与G重合时，EF=CP，x=1，分两种情况：

①当0＜x≤1时，②当1＜x＜2时，分别根据三角形面积公式可得结论；

（4）当PF⊥EG时，△PFG∽△EGC，列比例式得方程解出即可；

当PF∥EG时，四边形GEFP是平行四边形，根据EF=GP，列方程解出即可．

解：（1）如图1，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，即，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴四边形为矩形，

∴，

∴，

或；

（2）∵，，

∴四边形是平行四边形，

当时，即，

；

（3）当与重合时，如图2，，

即，

，

分两种情况：

①当时，如图1，；

②当时，如图3，交于，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（4）当时，如图4，

∵，，

∴，

∴，即，

解得：，（舍去），

当时，四边形是平行四边形，

∴，即，

∴．

综上，的值是或．