Question

【题目】已知△ABC，AB=AC=5，BC=8，∠PDQ的顶点D在BC边上，DP交AB边于点E，DQ交AB边于点O且交CA的延长线于点F（点F与点A不重合），设∠PDQ=∠B，BD=3．
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）设BE=x，OA=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）当△AOF是等腰三角形时，求BE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠EDC=∠B+∠BED，

∴∠FDC+∠EDO=∠B+∠BED，

∵∠EDO=∠B，

∴∠BED=∠EDC，

∵∠B=∠C，

∴△BDE∽△CFD．

（2）

解：过点D作DM∥AB交AC于M（如图1中）．

∵△BDE∽△CFD，

∴ ，∵BC=8，BD=3，BE=x，

∴ = ，

∴FC= ，

∵DM∥AB，

∴ ，即 = ，

∴DM= ，

∵DM∥AB，

∴∠B=∠MDC，

∴∠MDC=∠C，

∴CM=DM= ，FM= ﹣ ，

∵DM∥AB，

∴ ，即 = ，

∴y= （0＜x＜3）．

（3）

解：①当AO=AF时，

由（2）可知AO=y= ，AF=FC﹣AC= ﹣5，

∴ = ﹣5，解得x= ．

∴BE=

②当FO=FA时，易知DO=AM= ，作DH⊥AB于H（如图2中），

BH=BDcos∠B=3× = ，

DH=BDsin∠B=3× = ，

∴HO= = ，

∴OA=AB﹣BH﹣HO= ，

由（2）可知y= ，即 = ，解得x= ，

∴BE= ．

③当OA=OF时，设DP与CA的延长线交于点N（如图3中）．

∴∠OAF=∠OFA，∠B=∠C=∠ANE，

由△ABC≌△CDN，可得CN=BC=8，ND=5，

由△BDE≌△NAE，可得NE=BE=x，ED=5﹣x，

作EG⊥BC于G，则BG= x，EG= x，

∴GD= ，

∴BG+GD= x+ =3，

∴x= ＞3（舍弃），

综上所述，当△OAF是等腰三角形时，BE= 或 ．

【解析】（1）根据两角对应相等两三角形相似即可证明．（2）过点D作DM∥AB交AC于M（如图1中）．由△BDE∽△CFD，得 ，推出FC= ，由DM∥AB，得 ，推出DM= ，由DM∥AB，推出∠B=∠MDC，∠MDC=∠C，CM=DM= ，FM= ﹣ ，于DM∥AB，得 ，代入化简即可．（3）分三种情形讨论①当AO=AF时，②当FO=FA时，③当OA=OF时，分别计算即可．
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质和相似三角形的应用的相关知识点，需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解才能正确解答此题．