Question

已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点D是斜边的中点，经过点C引一条直线l（不与AC、BC重合并且不经过点D）
操作：经过点A作AE⊥l，经过点B作BF⊥l，连接DE、DF，猜想△DEF的形状并证明．

Answer 1

解：△DEF为等腰直角三角形；
证明：如图，连接CD，∵AE⊥CE，BF⊥CE，
∴∠AEC=∠BFC=90°，
∵∠ACE+∠BCF=90°，∠BCF+∠CBF=90°，
∴∠ACE=∠CBF，
在△ACE与△CBF中，
，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴AE=CF，∠CAE=∠BCF，
∵∠CAB=∠DCB=45°，
∴∠FCD=∠DAE，
又AD=CD，
∴△AED≌△CFD，
∴ED=FD，∠ADE=∠CDF，
∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形．
分析：可先证明Rt△ACE与Rt△CBF全等，再通过边角关系证明△AED≌△CFD，进而可得AE与DE相等，即为等腰三角形．
点评：本题考查了等腰三角形的判定及全等三角形的判定与性质；熟练掌握三角形全等的判定，能够运用三角形的全等得出线段相等，对应角相等，作出辅助线是解答本题的关键．