Question

矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、C 两点的坐标分别为A(6，0)、C(0，3)，直线与BC边相交于点D.

（1）求点D的坐标；

（2）若抛物线经过A、D两点，试确定此抛物线的解析式；

（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线AD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似，求符合条件的所有点P的坐标.

Answer 1

 (1) ∵四边形OABC为矩形，C(0,3)  

∴BC∥OA，点D的纵坐标为3.  

∵直线与BC边相交于点D，

∴. ∴点D的坐标为(2,3)  

     (2) ∵若抛物线经过A(6,0)、D(2,3)两点，

∴                           -

解得：∴抛物线的解析式为

(3) ∵抛物线的对称轴为x=3，

设对称轴x=3与x轴交于点P₁，∴BA∥MP₁，

∴∠BAD=∠AMP₁.

①∵∠AP₁M=∠ABD=90°，∴△ABD∽△AMP₁.

∴P₁ (3，0).                         

②当∠MAP₂=∠ABD=90°时，△ABD∽△MAP_2.

∴∠AP₂M=∠ADB

∵AP₁=AB，∠AP₁ P₂=∠ABD=90°

∴△AP₁ P₂≌△ABD

∴P₁ P₂=BD=4                     

∵点P₂在第四象限，∴P₂ (3，-4).    -

∴符合条件的点P有两个，P₁ (3，0)、P₂ (3，-4).