Question

如图，把长方形ABCD沿BD对折，使C点落在C′的位置时，BC′与AD交于E，若AB=6cm，BC=8cm．
（1）求证：△BED为等腰三角形；
（2）求重叠部分△BED的面积．

Answer 1

分析：（1）首先利用AAS得出△ABE≌△C′DE，可得出BE=ED，即可得出答案；
（2）要求三角形BED的面积，可以以ED为底边，DE边上的高即AE为高来计算，因此关键是求出DE的长，AE，DE可转化到一个直角三角形中，用勾股定理来求出DE的值，进而求出△BED的面积．

解答：解：（1）∵△BDC′是由对折得到的，∴△BDC≌△BC′D，
∴∠C=∠C′=90°，AB=C′D，而∠A=90°，AB=CD，
在△ABE和△C′DE中，
∵

∠AEB=∠C′ED ∠A=∠C′=90° AB=C′D

∴△ABE≌△C′DE（AAS），
∴BE=DE，
∴△BED为等腰三角形；

（2）设DE=BE=x，则AE=AD-DE=8-x，
在Rt△AEB中，有 AB²+AE²=BE²，则
x²-6²=（8-x）²，
解得x=

25

4

，
则S_△BED=

1

2

DE×AB=

1

2

×6×

25

4

=

75

4

，
即重叠部分的面积为

75

4

点评：本题主要考查了折叠变换和矩形以及三角形的有关知识，要读清题意，熟练掌握折叠和直角三角形的相关知识得出DE的长是解题关键．