Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP，AE．

（1）判断直线PQ与⊙O的关系；

（2）若直径AB的长为4．当四边形AEOP为菱形时，求PE的长．

Answer 1

【答案】（1）相切，理由见解析；（2）

【解析】

（1）根据切线性质可知∠OBQ＝90°，然后根据题意证明∠POQ＝∠BOQ，最后进一步求证，由此利用全等三角形性质即可证明结论；

（2）根据菱形性质可知AP=OP=AE=OE，AD=OD，DE=DP，∠ODP=90°，结合题意通过勾股定理求出，由此进一步分析即可得出答案.

（1）PQ与⊙O相切，理由如下：

∵BM切⊙O于点B，

∴OB⊥BQ，

∴∠OBQ＝90°，

∵PA∥OQ，

∴∠OPA＝∠POQ，∠OAP＝∠BOQ，

∵OA＝OP，

∴∠OPA＝∠OAP，

∴∠POQ＝∠BOQ，

在与中，

∵

∴，

∴∠OPQ＝∠OBQ=90°，

∴直线PQ为⊙O切线；

（2）∵四边形AEOP为菱形，

∴AP=OP=AE=OE，AD=OD，DE=DP，∠ODP=90°，

∵AB=4，

∴OP=OA=2，

∴OD=1，

∴在中，

∴PE=.