Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，已知的半径为5，圆心的坐标为，交轴于点，交轴于，两点，点是上的一点（不与点、、重合），连结并延长，连结，，.
（1）求点的坐标；

（2）当点在上时.

①求证：；

②如图2，在上取一点，使，连结.求证：；

（3）如图3，当点在上运动的过程中，试探究的值是否发生变化？若不变，请直接写出该定值；若变化，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（0，4）；（2）①详见解析；②详见解析；（3）不变，为.

【解析】

（1）连结，在中，为圆的半径5，，由勾股定理得

（2）①根据圆的基本性质及圆周角定理即可证明；

②根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角定理得到，由①证明得到，即可根据相似三角形的判定进行求解；

（3）分别求出点C在B点时和点C为直径AC时，的值，即可比较求解.

（1）连结，在中，=5，，

∴

∴A（0,4）.

（2）连结，

故，则

∵∠ABD+∠ACD=180°，∠HCD+∠ACD=180°，

∴

∵与是弧所对的圆周角

∴=

又

∴

即

②∵

∴

∵，且由（2）得

∴

∴

在与中

∴

（3）①点C在B点时，如图，

AC=2AO=8,BC=0,

CD=BD=

∴==；

当点C为直径AC与圆的交点时，如图

∴AC=2r=10

∵O,M分别是AB、AC中点，

∴BC=2OM=6，

∴C（6，-4）∵D（8,0）

∴CD=

∴==

故的值不变，为.