Question

x，y为正整数，且两个分数之和

x2-1

y+1

+

y2-1

x+1

也是整数，求证：这两个分数都是整数．

Answer 1

分析：对于两个分数的乘积，可写成：（a+

1

m

）×（b+

1

n

）=ab+

a

n

+

b

m

+

1

mn

，从而得出若两个数相乘得到的结果是整数，那么它们中至少有一个是整数，再结合两个数的和为自然数，则这两个数要么都是分数，要么都是整数可证得结论．

解答：证明：两个数的和为自然数，则这两个数要么都是分数，要么都是整数（在此题中为自然数）；
对于

x2-1

y+1

与

y2-1

x+1

的积有：

x2-1

y+1

×

y2-1

x+1

=（x-1）×（y-1），
由于x与y是自然数，那么 （x-1）×（y-1）也是自然数，
对于两个分数的乘积，可写成：（a+

1

m

）×（b+

1

n

）=ab+

a

n

+

b

m

+

1

mn

，其中a、b、m、n均为整数，
由于

1

mn

的存在，所以若两个数相乘得到的结果是整数，那么它们中至少有一个是整数，
对于本题而言，由于

x2-1

y+1

×

y2-1

x+1

=（x-1）×（y-1）为整数，
因此他们中至少有一个是整数，
又∵在（i）中知

x2-1

y+1

与

y2-1

x+1

要么同为整数，要么同为分数，
因此可得出结论：

x2-1

y+1

与

y2-1

x+1

都是整数．

点评：本题考查整数问题的综合运用，难度较大，对于本题的证明关键是要知道两个数的和为自然数，则这两个数要么都是分数，
要么都是整数．