Question

已知二次函数

（1）求证：无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴

总有两个交点.

（2）当x≥2时，函数值随的增大而减小，求的取

值范围.

（3）以二次函数图象的顶点为一个顶点作该二次函数图象的内接正三角形（M，N两点在二次函数的图象上），请问：△的面积是与a无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

 

Answer 1

 

（1）见解析

（2）

（3）见解析

解析:解：（1）

 无论a为何实数 …………………………(1分)

∴抛物线与x轴总有两个交点……………………………………(2分)

（2）

       ……………………………………(3分)

∴由题意得，（只写<或=其一，不给分）    ……………(4分)

（3）解法一：以二次函数图象的顶点为一个顶点作

该二次函数图象的内接正三角形（，两点在二次函数的图象上），

这个正三角形的面积只与二次函数图形的开口大小有关。

二次函数的图象可以看做是

二次函数的图象通过平移得到的。

如图，正三角形的面积等于正三角形的面积.因此，与a的取值无关

点在二次函数的图象上

，，，

,

点在的图象上，

 

舍去

                     ,

. 

正三角形AMN的面积是与a无关的定值,定值为.

解法二：根据抛物线和正三角形的对称性，可知轴，

设抛物线的对称轴与交于点，则

设

∴

又=

∴       ∴

∴                    

                          

∴  

∴正三角形AMN的面积是与a无关的定值