Question

（2013•锡山区一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A，B坐标分别为（8，4），（0，4），线段CD在于x轴上，CD=3，点C从原点出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度向右平移，点D随着点C同时同速同方向运动，过点D作x轴的垂线交线段AB于点E，交OA于点G，连接CE交OA于点F．设运动时间为t，当E点到达A点时，停止所有运动．

（1）求线段CE的长；
（2）记S为Rt△CDE与△ABO的重叠部分面积，试写出S关于t函数关系式及t的取值范围；
（3）如图2，连接DF，
①当t取何值时，以C，F，D为顶点的三角形为等腰三角形？
②直接写出△CDF的外接圆与OA相切时t的值．

Answer 1

分析：（1）直接根据勾股定理求出CE的长即可；
（2）作FH⊥CD于H．，由AB∥OD，DE⊥OD，OB⊥OD可知四边形ODEB是矩形，故可用t表示出AE及BE的长，由相似三角形的判定定理可得出△OCF∽△AEF，△ODG∽△AEG，由相似三角形的性质可用t表示出CF及EG的长，FH∥ED可得出•

HD

CD

=

EF

CE

，故可求出HD的长，由三角形的面积公式可求出S与t的关系式；
（3）①由（2）知CF=t，当CF=CD时，则t=3；当CF=DF时，由FH⊥CD，FH∥DE，可得出CF：CE=FH：DE，由此可得出t的值；当DF=CD时，作DK⊥CF于K，则CK=

1

2

CF=

1

2

t，CK=CDcos∠DCE，由此可得出t的值；
②先根据勾股定理求出OA的长，由（2）知HD=

3

5

（5-t），由相似三角形的判定定理得出Rt△AOB∽Rt△OFH，故

OH

AB

=

OF

OA

，由此可用t表示出OF的长，因为当△CDF的外接圆与OA相切时，则OF为切线，OD为割线，由切割线定理可知OF²=OC•OD，故可得出结论．

解答：解：（1）∵在Rt△CDE中，CD=3，DE=4，
∴CE=

CD2+DE2

=

32+42

=5；

（2）如图1，作FH⊥CD于H．
∵AB∥OD，DE⊥OD，OB⊥OD，
∴四边形ODEB是矩形，
∴BE=OD，
∵OC=t，
∴BE=OD=OC+CD=t+3，
∴AE=AB-BE=8-（t+3）=5-t，
∵AB∥OD，
∴△OCF∽△AEF，△ODG∽△AEG，
∴

CF

EF

=

OC

AE

=

t

5-t

，

DG

EG

=

OD

AE

=

t+3

5-t

，
又∵CF+EF=5，DG+EG=4，
∴

EF+CF

CF

=

5-t+t

t

，

EG+DG

EG

=

t+3+5-t

5-t

，
∴CF=t，EG=

5-t

2

，
∴EF=CE-CF=5-t，
∵FH∥ED，
∴

HD

CD

=

EF

CE

，即HD=

EF

CE

•CD=

3

5

（5-t），
∴S=

1

2

EG•HD=

1

2

×

5-t

2

×

3

5

（5-t）=

3

20

（5-t）²，
t的取值范围为：0≤t≤5；

（3）①由（2）知CF=t，
（i）当CF=CD时，则t=3；
（ii）如图2，当CF=DF时，
∵FH⊥CD，
∴CH=

1

2

CD，
又∵FH∥DE，
∴CF：CE=FH：DE，
∴CF=

1

2

CE=

5

2

即t=

5

2

；
（iii）如图3，当DF=CD时，如图作DK⊥CF于K，
则CK=

1

2

CF=

1

2

t，
∵CK=CDcos∠DCE，
∴

1

2

t=3×

3

5

，
解得：t=

18

5

；
综上，当t=3或

5

2

或

18

5

时，△CDF为等腰三角形；
②∵点A，B坐标分别为（8，4），（0，4），
∴AB=8，OB=4，
∴OA=

AB2+OB2

=

82+42

=4

5

，
∵由（2）知HD=

3

5

（5-t），
∴OH=t+3-

3

5

（5-t）=

8t

5

，
∵∠A+∠AOB=∠AOD+∠AOB=90°，
∴∠A=∠AOD，
∴Rt△AOB∽Rt△OFH，
∴

OH

AB

=

OF

OA

，

8t 5

8

=

OF

4 5

，解得OF=

4 5 t

5

，
∵当△CDF的外接圆与OA相切时，则OF为切线，OD为割线，
∴OF²=OC•OD，即（

4 5 t

5

）²=t（t+3），得t=

15

11

．

点评：本题考查的是相似三角形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质及切割线定理，涉及面较广，难度较大．