Question

【题目】已知图，正方形ABCD，M是BC延长线上一点，过B作BE⊥DM于点E，交DC于点F，过F作FG∥BC交BD于点G，连接GM，若S△EFD= DF2 ， AB=4 ，则GM= ．

Answer 1

【答案】8（ ﹣1）
【解析】解：如图，作EH⊥CD于H，CN⊥DM于N，NK⊥CD于K．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCF=∠DCM=90°，BC=DC，

∵BE⊥DM，

∴∠BEM=90°，

∴∠CBF+∠BME=90°，∠BME+∠CDM=90°，

∴∠CBF=∠CDM，

∴△BCF≌△DCM，

∴BF=DM，CF=CM，

∴∠FMB=∠GBM=45°，

∵FG∥BM，

∴四边形BMFG是等腰梯形，

∴GM=BF=DM，

∵S△DEF= DFEH= DF2，

∴EH= DF，即DF=4EH，

∵△DEF∽△DNC∽△DCM，

∴CD=4NK，DM=4CN，

∵AB=CD=4 ，

∴NK= ，设CK=x，则DK=4 ﹣x，

∵△DKN∽△NKC，

∴NK2=DKKC，

∴2=x（4 ﹣x），

∴x=2 ﹣ 或2 + （舍弃），

在Rt△CKN中，CN= = =2（ ﹣1），

∴GM=DM=4CN=8（ ﹣1）．

所以答案是8（ ﹣1）．

【考点精析】掌握三角形的面积和勾股定理的概念是解答本题的根本，需要知道三角形的面积=1/2×底×高；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．