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    下列说法
    ①如图1，扇形OAB的圆心角∠AOB=90°，OA=6，点C是
    AB
    上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于D，作CE⊥OB于E，连接DE，点G在线段DE上，且DG=
    1
    3
    DE    ，连接CG．当点C在
    AB
    上运动时，在CD、CG、DG中，长度不变的是DG；
    ②如图2，正方形纸片ABCD的边长为8，⊙O的半径为2，圆心O在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，折叠后点A于点H重合，且EH切⊙O于点H，延长FH交CD边于点G，则HG的长为
    19
    3
    ；
    ③已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则其内心和外心之间的距离是
    		5
    cm    ．
    其中正确的有
    ①②
    ①②
     （请写序号，少选，错选均不得分）
    分析：①连接OC，由于四边形ODCE是矩形，而矩形的对角线相等，所以DE=OC，而CO是圆的半径，这样DE的长度不变，也就DG的长度不变；
    ②连AC，过F作FM⊥DC于M，根据折叠的性质得∠EHF=∠EAF=90°，FH=FA，由EH恰好与⊙0相切于点H，根据切线的性质得OH⊥EH，则点F、H、O共线，即FG过圆心O；再根据正方形的性质得到AC经过点O，且OA=OC，易证得△OAF≌△OCG，则OF=OG，AF=CG，易得FH=GN，设FA=x，DC=8，ON=2，则FH=DM=CG=GN=x，FG=FH+HN+NG=2x+4，MG=DC-DM-CG=8-2x，在Rt△FGM中，利用勾股定理得到FG2=FM2+MG2，即（2x+4）2=82+（8-2x）2，解出x=
    7
    3
    ，则可计算出HG=HN+NG=4+
    7
    3
    =
    19
    3
    ；
    ③首先运用勾股定理求出斜边AB=5cm，因为直角三角形的外心是斜边的中点，则外接圆的半径是斜边的一半，即为
    5
    2
    cm．直角三角形的内切圆的半径r和三边的关系为r=
    a+b-c
    2
    ，（a，b为两直角边，c为斜边）可求的r．再运用勾股定理求外心与内心之间的距离即可．
    解答：①解：连接OC，如图1，
    ∵扇形OAB的圆心角∠AOB=90°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
    ∴∠AOE=∠CEO=∠CDO=90°，
    ∴四边形EODC是矩形，
    ∴OC=DE，
    ∵DG=
    1
    3
    DE    ，
    ∴DG=
    1
    3
    OC=
    1
    3
    DE，
    ∴当点C在
    AB
    上运动时，在CD、CG、DG中，长度不变的是DG，故该选项正确；

    ②解：连AC，过F作FM⊥DC于M，如图2．
    ∵△AEF沿EF折叠得到△HEF，
    ∴∠EHF=∠EAF=90°，FH=FA，
    ∵EH恰好与⊙0相切于点H，
    ∴OH⊥EH，
    ∴点F、H、O共线，即FG过圆心O，
    又∵点O为正方形的中心，
    ∴AC经过点O，
    ∴OA=OC，
    在△OAF和△OCG中，
    ∠AFO=∠CGO
    ∠AOF=∠COG
    AO=CO
    ，
    ∴△OAF≌△OCG，
    ∴OF=OG，AF=CG，
    ∵OA′=ON，
    ∴FA′=GN，
    设FA=x，DC=8，ON=2，则FH=DM=CG=GN=x，FG=FM+HN+NG=2x+4，MG=DC-DM-CG=8-2x，
    在Rt△FGH中，FG2=FM2+MG2，
    ∴（2x+4）2=82+（8-2x）2，解得x=
    7
    3
    ，
    HG=HN+NG=4+
    7
    3
    =
    19
    3
    ，故该选项正确；

    ③解：如图3，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
    ∴AB=5cm，
    ∴AM为外接圆半径，
    ∴AM=
    1
    2
    AB=2.5cm
    设Rt△ABC的内切圆的半径为r，则OD=OE=r，∠C=90°，
    ∵四边形OECD是正方形，
    ∴CE=CD=r，AE=AN=3-r，BD=BN=4-r，
    即4-r+3-r=5，
    解得r=1cm，
    ∴AN=2cm；
    在Rt△OMN中，
    MN=AM-AN=
    5
    2
    -2=
    1
    2
    cm，
    ∴OM=
    		12+(
    1
    2
    )2
    =
    		5
    2
    cm，
    ∴内心和外心之间的距离是
    		5
    2
    cm，故该选项错误；
    故答案为：①②．
    点评：①本题考查了矩形的判定、矩形的性质以及圆的半径处处相等的性质．
    ②本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了折叠和正方形的性质以及勾股定理．
    ③本题考查了三角形的外心和内心的性质．直角三角形的外心是斜边的中点，外接圆的半径是斜边的一半；直角三角形的内切圆的半径r和三边的关系为r=
    a+b-c
    2
    ．
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    下列说法

    ①如图，扇形的圆心角，点是上异于的动点，过点作于，作于,连接，点在线段上，且，连接。当点在上运动时，在中，长度不变的是；

    ②如图，正方形纸片的边长为，⊙的半径为，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，折叠后点于点重合，且切⊙于点，延长交边于点,则的长为；③已知中，，则其内心和外心之间的距离是。其中正确的有      （请写序号，少选，错选均不得分）

     

     

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    下列说法
    ①如图，扇形的圆心角，点是上异于的动点，过点作于，作于,连接，点在线段上，且，连接。当点在上运动时，在中，长度不变的是；
    ②如图，正方形纸片的边长为，⊙的半径为，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，折叠后点于点重合，且切⊙于点，延长交边于点,则的长为；③已知中，，则其内心和外心之间的距离是。其中正确的有     （请写序号，少选，错选均不得分）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    下列说法
    ①如图，扇形的圆心角，点是上异于的动点，过点作于，作于,连接，点在线段上，且，连接。当点在上运动时，在中，长度不变的是；
       
    ②如图，正方形纸片的边长为，⊙的半径为，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，折叠后点于点重合，且切⊙于点，延长交边于点,则的长为；
    ③已知中，，则其内心和外心之间的距离是。其中正确的有     （请写序号，少选，错选均不得分）

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    科目：初中数学 来源：2011-2012年天津市和平区九年级第一学期期中考试数学卷 题型：填空题

    下列说法

    ①如图，扇形的圆心角，点是上异于的动点，过点作于，作于,连接，点在线段上，且，连接。当点在上运动时，在中，长度不变的是；

       

    ②如图，正方形纸片的边长为，⊙的半径为，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，折叠后点于点重合，且切⊙于点，延长交边于点,则的长为；

    ③已知中，，则其内心和外心之间的距离是。其中正确的有      （请写序号，少选，错选均不得分）

     

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