Question

如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．

（1）求A、B、C三点的坐标．

（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．

（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

Answer 1

解：（1）令，得   解得

令，得

∴ A   B   C 

（2）∵OA=OB=OC=    ∴BAC=ACO=BCO=

∵AP∥CB，        ∴PAB=

      过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形

令OE=，则PE=  ∴P

∵点P在抛物线上 ∴  

解得，（不合题意，舍去）
      ∴PE=

∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE

=

(3)． 假设存在

∵PAB=BAC =   ∴PAAC

∵MG轴于点G，   ∴MGA=PAC =

在Rt△AOC中，OA=OC=   ∴AC=

在Rt△PAE中，AE=PE=   ∴AP=  

设M点的横坐标为，则M

①点M在轴左侧时，则

(ⅰ) 当AMG PCA时，有=

∵AG=，MG=

即 

解得（舍去） （舍去）

(ⅱ) 当MAG PCA时有=

即

解得：（舍去） 

∴M

② 点M在轴右侧时，则

(ⅰ) 当AMG PCA时有=

∵AG=，MG=     

∴   

解得（舍去）   

      ∴M