Question

如图，已知直线y=2x和双曲线y=都经过点A、B，点P（-2，a）在双曲线上．
（1）求出a的值及点A、B的坐标；
（2）判断△PAB的形状并说明理由；
（3）双曲线上是否存在点Q，使△QAP是以AP为底的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点P在反比例函数y=上，
∴a==-1，
∴P（-2，-1），
∴，解得或，
∴A（-1，-2），B（1，2）；

（2）△PAB是直角三角形．
过点B作BH⊥x轴，垂足为H，
在Rt△OBH中，OB==，
同理可得，OP=，OA=，
∴OA=OB=OP，
∴∠OPB=∠OBP，∠OPA=∠OAP，
∵∠OPB+∠OBP+∠OPA+∠OAP=180°，
∴∠OPB+∠OPA=90°，即∠APB=90°，
∴△PAB是∠APB为直角的直角三角形；

（3）过点O作OC⊥AP于点C，
∵由（2）知，OP=OA，
∴OC平分线段AP，即OC是AP的垂直平分线，
设BP的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴，解得k=1，
∵BP⊥AP，
∴BP∥OC，
∴直线OC的解析式为y=x，
∴，解得或．
∴Q₁（，），Q₂（-，-）
分析：（1）把点P（-2，a）代入反比例函数y=即可得出a的值，再把直线y=2x与双曲线y=联立即可得出x、y的值，故可得出A、B两点的坐标；
（2）过点B作BH⊥x轴，垂足为H，再根据勾股定理得出OB，OP，OA的长，再由三角形内角和定理即可得出结论；
（3）过点O作OC⊥AP于点C，由（2）知，OP=OA，故可得出OC平分线段AP，即OC是AP的垂直平分线，设BP的解析式为y=kx+b（k≠0），把B、P两点的坐标代入可求出k的值，故可得出直线OC的解析式为y=x，联立直线OC与反比例函数的解析式即可得出Q点的坐标．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式、直角三角形的性质等知识，难度适中．