Question

已知：关于x的一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0 （k是整数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂），设y=x₂-x₁-2，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：根据题意得k≠0，
∵△=（4k+1）²-4k（3k+3）=4k²-4k+1=（2k-1）²，
而k为整数，
∴2k-1≠0，
∴（2k-1）²＞0，即△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：y是变量k的函数．
∵x₁+x₂=，x₁•x₂=，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=-==（2-）²，
∵k为整数，
∴2-＞0，
而x₁＜x₂，
∴x₂-x₁=2-，
∴y=2--2
=-（k≠0的整数），
∴y是变量k的函数．
分析：（1）根据一元二次方程的定义得到k≠0，再计算出判别式得到△=（2k-1）²，根据k为整数和非负数的性质得到△＞0，则根据判别式的意义即可得到结论；
（2）根据根与系数的关系得x₁+x₂=，x₁•x₂=，则根据完全平方公式变形得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=-==（2-）²，
由于k为整数，则2-＞0，所以x₂-x₁=2-，则y=2--2=-．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程的根的判别式．