Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．
（1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；
（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．

Answer 1

解：（1）连AC，过C作CM⊥AD于M，如图，
在Rt△ABC中，AB=6，sin∠ACB==，
∴AC=10，
∴BC=8，
在Rt△CDM中，∠D=45°，
∴DM=CM=AB=6，
∴AD=6+8=14，
∴梯形ABCD的面积=•（8+14）•6=66（cm²）；

（2）证明：过G作GN⊥AD，如图，
∵∠D=45°，
∴△DNG为等腰直角三角形，
∴DN=GN，
又∵AD∥BC，
∴∠BFH=∠FHN，
而∠EFH=∠FHG，
∴∠BFE=∠GHN，
∵EF=GH，
∴Rt△BEF≌Rt△NGH，
∴BE=GN，BF=HN，
∴DH=HN+DN=HN+NG=BF+BE．
分析：（1）连AC，过C作CM⊥AD于M，在Rt△ABC中，利用三角函数求出BC，在Rt△CDM中，∠D=45°，利用等腰直角三角形的性质得到DM=CM=AB=6，则AD=6+8=14，然后根据梯形的面积公式计算即可；
（2）过G作GN⊥AD，则DN=GN，由AD∥BC，得∠BFH=∠FHN，而∠EFH=∠FHG，得到∠BFE=∠GHN，易证Rt△BEF≌Rt△NGH，则BE=GN，BF=HN，经过代换即可得到结论．
点评：本题考查了解有关直角梯形的问题的方法：把直角梯形的问题转化为解直角三角形的问题．也考查了全等三角形的判定与性质以及解直角三角形．