Question

【题目】定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对于任意两点P(m，y)Q(m，y0)，m为任意实数．若y0=，则称点Q是点P的变换点．例如：若点P(1，y)在直线y=x上，点P的变换点Q在函数y=的图象上设点P(m，y)在函数y=﹣x2+2x+3的图象上，点P的变换点Q所在的图象记为G．

（1）求图象G对应的函数关系式；

（2）设图象G与x轴的交点为A、B(点A在点B的左侧)与y轴交于点C，连结AC、BC，求△ABC的面积；

（3）当﹣2≤x≤m时，若图象G的最高点与最低点之间的距离不大于，直接写出m的取值范围；

（4）设点P(，y)在函数y=ax2﹣3ax﹣4a(a≠0)的图象上，点P的变换点Q所在的图象记为G1，图象G1与x轴的交点为M、N(点M在点N的左侧)，连结MN，将MN沿y轴向上平移一个单位得到线段M'N'，当图象G1与线段M'N'只有一个交点时，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y=，（2）6或3；（3）1﹣≤m≤0或1≤m≤1+或3≤m≤1+或m≥4；（4）a或0＜a＜．

【解析】

（1）由题意得：函数G的表达式为：y=，

（2）点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），点C（0，3）或（0，﹣），故△ABC的面积=×AB×OC=6或3；

（3）分m≤﹣1、﹣1≤m≤1、1≤m≤3、m≥3三种情况，分别求解即可；

（4）分当a＜0、a＞0两种情况求解即可．

解：（1）由题意得：

函数G的表达式为：y=，

（2）如图1，令y=0，

解得：x=﹣1或3，

故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），

函数对称轴为：x=1，

点C（0，3）或（0，﹣）；

故△ABC的面积=×AB×OC=6或3；

（3）①当m≤﹣1时，如图2，

当﹣2≤x≤m时，图象G的最高点为R，最低点B，点R（﹣2，），

则yR﹣yB，

即﹣（﹣m2+2m+3），

解得：1﹣≤m≤1+，

故1﹣≤m≤﹣1；

②当﹣1≤m≤1时，如图3所示，点A（﹣2，）

当点A为最高点时，

yA﹣yC，

即+（﹣m2+2m+3），

解得：m为任意实数；

点B是高点时，

yB﹣yC，

即（﹣m2+2m+3），

解得：m≥2或m≤0，

故﹣1≤m≤0；

③当1≤m≤3时，如图4所示，点A（﹣2，），顶点E（1，﹣2），

当点A是最高点时，

yA﹣yE=，符合条件；

当点C是最高点时，

yC﹣yE，

即（﹣m2+2m+3），

解得：1﹣≤m≤1，

故1≤m≤1+；

④当m≥3时，如图5所示，点A（﹣2，），顶点E（1，﹣2），

（Ⅰ）当点A是最高点时，

当点E是最低点时，yA﹣yE=；

当点D时最低点时，yA﹣yD，

即﹣（﹣m2+2m+3），

解得：3≤m≤1+；

故3≤m≤1+；

（Ⅱ）当点B是最高点时，

当点E是最低点时，yB﹣yE=，同理可得：m≥4，

当点D时最低点时，yB﹣yD≤，同理可得：m≤1+，

故：3≤m≤1+或m≥4；

综上，1﹣≤m≤0或1≤m≤1+或3≤m≤1+或m≥4；

（4）①当a＜0时，如图6所示，

当x=﹣时，对应抛物线上的实点R，则yR＞1，

即：y=ax2﹣3ax﹣4a=a（+﹣4）＞1，

解得：a，

②当a＞0时，

当x=﹣时，﹣（ax2﹣3ax﹣4a）＜1，

即﹣a（+﹣4）＜1，

解得：a，即0＜a＜；

综上，a的取值范围为：a或0＜a＜．