Question

【题目】如图，抛物线（）与双曲线相交于点、，已知点坐标，点在第三象限内，且的面积为3（为坐标原点）.

（1）求实数、、的值；

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点使得为等腰三角形？若存在请求出所有的点的坐标，若不存在请说明理由.

（3）在坐标系内有一个点，恰使得，现要求在轴上找出点使得的周长最小，请求出的坐标和周长的最小值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）存在，，，，，；（3）

【解析】

（1）由点A在双曲线上，可得k的值，进而得出双曲线的解析式．设()，过A作AP⊥x轴于P，BQ⊥y轴于Q，直线BQ和直线AP相交于点M．根据=3解方程即可得出k的值，从而得出点B的坐标，把A、B的坐标代入抛物线的解析式即可得到结论；

（2）抛物线对称轴为，设，则可得出；；．然后分三种情况讨论即可；

（3）设M(x，y)．由MO=MA=MB，可求出M的坐标．作B关于y轴的对称点B'．连接B'M交y轴于Q．此时△BQM的周长最小．用两点间的距离公式计算即可．

（1）由知：k=xy=1×4=4，

∴．

设()．

过A作AP⊥x轴于P，BQ⊥y轴于Q，直线BQ和直线AP相交于点M，则S△AOP=S△BOQ=2．

令：，

整理得：，

解得：，．

∵m＜0，

∴m=-2，

故．

把A、B带入

解出：，

∴．

（2）

∴抛物线的对称轴为．

设，则，，．

∵△POB为等腰三角形，

∴分三种情况讨论：

①，即，解得：，

∴，；

②，即，解得：，

∴，；

③，即，解得：

∴；

（3）设．

∵，，，

∴，，．

∵，

∴

解得：，

∴．

作B关于y轴的对称点B'坐标为：(2，-2)．

连接B'M交y轴于Q．此时△BQM的周长最小．

=MB'+MB

．