Question

【题目】已知抛物线y＝x2+（1﹣2a）x﹣2a（a是常数）．

（1）证明：该抛物线与x轴总有交点；

（2）设该抛物线与x轴的一个交点为A（m，0），若2＜m≤5，求a的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若a为整数，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象G，请你结合新图象，探究直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点个数的情况．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）1＜a≤；（3）新图象G公共点有2个．

【解析】

（1）令抛物线的y值等于0，证所得方程的△＞0即可；

（2）将点A坐标代入可求m的值，即可求a的取值范围；

（3）分k＞0和k＜0两种情况讨论，结合图象可求解．

解：（1）设y＝0，则0＝x2+（1﹣2a）x﹣2a，

∵△＝（1﹣2a）2﹣4×1×（﹣2a）＝（1+2a）2≥0，

∴x2+（1﹣2a）x﹣2a＝0有实数根，

∴该抛物线与x轴总有交点；

（2）∵抛物线与x轴的一个交点为A（m，0），

∴0＝m2+（1﹣2a）m﹣2a，

∴m＝﹣1，m＝2a，

∵2＜m≤5，

∴2＜2a≤5，

∴1＜a≤；

（3）∵1＜a≤，且a为整数，

∴a＝2，

∴抛物线解析式为：y＝x2﹣3x﹣4，

如图，当k＞0时，

若y＝kx+1过点（﹣1，0）时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有3个，

即k＝1，

当0＜k＜1时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有4个，

当k＞1时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有2个，

如图，当k＜0时，

若y＝kx+1过点（4，0）时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有3个，

即k＝﹣，

当﹣＜k＜0时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有4个，

当k＜﹣时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有2个，