Question

已知：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=DC，∠BCD=120°，将直角三角板PMN的30°角的顶点P与点A重合，旋转三角板PMN，在旋转过程中，三角板PMN的直角边PM与直线BC交于点E，斜边PN与直线DC交于点F，连接EF．
（1）当E、F分别在线段BC、CD上时，（如图①），求证：EF=BE+DF；
（2）当E、F分别在直线BC、CD上时，（如图②、图③），线段EF、BE、DF之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论．

Answer 1

分析：（1）延长CD到H点，使DH=BE，连接AH，根据四边形内角和定理、平角的定义，即可推出∠ADC+∠ABC=180°，∠B=∠ADH，再由AD=AB，即可推出△ABE≌△ADH，推出∠EAB=∠HAD，根据∠NAM=30°，即可推出∠HAF=30°，结合题意推出△AHF≌△AEF后，根据全等三角形的性质即可推出结论；
（2）如图②，在BE上截取BO=DF，连接AO，根据全等三角形的判定定理推出△DAF≌△BAO，△EFA≌△OEA，推出EF=EO，DF=BO，即得BE=EF+DF；如图③，在DF上截取DR=BE，连接AR，根据全等三角形的判定定理推出△DAR≌△BAE，△EFA≌△RAF，推出EF=RF，DR=BE，即得DF=EF+BE．

解答：解：（1）延长CD到H点，使DH=BE，连接AH，
∵∠BAD=60°，∠BCD=120°，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠ADF+∠ADH=180°，
∴∠ADH=∠B，
∵AD=AB，DH=BE，
∴在△ADH和△ABE中，

DH=BE ∠ADH=∠ABE AD=AB

，
∴△ADH≌△ABE（SAS），
∴AH=AE，∠HAD=∠EAB，
∵∠DAB=60°，∠FAE=30°，
∴∠EAB+∠DAF=30°，
∴∠DAF+∠HAD=30°，即∠HAF=30°，
∴在△HAF和△EAF中，

AH=AE ∠HAF=∠EAF AF=AF

，
∴△HAF≌△EAF（SAS），
∴HF=EF，
∵HF=HD+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF，

（2）如图②，BE=EF+DF，
如图③，DF=EF+BE．

点评：本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，关键在于正确地作出辅助线，证明相关的三角形全等．