Question

【题目】如图，在等边中，，现有两点、分别从点、同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为.当点第一次回到点时，点、同时停止运动，设运动时间为.

（1）当为何值时，、两点重合；

（2）当点、分别在、边上运动，的形状会不断发生变化.

①当为何值时，是等边三角形；

②当为何值时，是直角三角形；

（3）若点、都在边上运动，当存在以为底边的等腰时，求的值.

Answer 1

【答案】（1）当时，M、N两点重合；（2）①当时，是等边三角形；②当或时，是直角三角形；（3）当存在以为底边的等腰时，的值为8.

【解析】

（1）当两点重合时，点N运动的距离等于点M运动的距离加上AB的长，求解即可；

（2）①因可知要使是等边三角形，只需，据此建立方程求解即可；

②分和两种情况，再根据直角三角形的性质得出AM与AN的等量关系，据此建立方程求解即可；

（3）先画出图形，确认点M、N的位置，再利用三角形全等的判定定理与性质可得，据此列出方程求解即可.

（1）由题意得：当点第一次回到点时，运动时间

当M、N两点重合时，

解得

故当时，M、N两点重合；

（2）是等边三角形

点分别在边上运动

①要使是等边三角形，只需

因此，

解得

故当时，是等边三角形；

②要使是直角三角形，只需或

当时，

由直角三角形的性质得

因此，

解得

当时，

由直角三角形的性质得

因此，

解得

综上，当或时，是直角三角形；

（3）由（1）知，当时，M、N两点重合

此时，即重合时恰好在C处

此后点M、N都在BC边上运动，并且点N在点M前面

当是以MN为底边的等腰三角形时，如图所示：

，即

又是等边三角形

在和中，

又

则

解得

故当存在以为底边的等腰时，的值为8.