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    如图，有两块板材边角料．其中一块是正方形木板；另一块是平行四边形木板．王师傅想将这两块木板加工两块全等的矩形木板．他将两块木板叠放在一起，发现正方形的一组对边与平行四边形的一组对边恰好重叠（如图所示），这两块木板的重叠部分为五边形ABFHD围成的区域，测得AE=50cm，EF=60cm，点B是线段精英家教网EF的中点．由于受木料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点A为一个顶点．
    （1）写出正方形ABCD的边长；
    （2）求DH的长；
    （3）设裁出的矩形木板为矩形APMN，点P、N分别在边AD、AB上，边AP为x cm．当x为多少时，矩形APMN的面积最大？最大面积是多少？
    分析：（1）由AE=50cm，EF=60cm，点B是线段EF的中点，可得，在直角△ABE中，BE=30cm，利用勾股定理可得出AB的长即正方形ABCD的边长；
    （2）由EF=AG=60cm，AD由（1）得出，可得出GD的长，易证△ABE∽△HDG，所以，
    BE
    AB
    =
    DG
    HD
    ，代入数值即可得出；
    （3）当AP=BF，N、M分别和B、F重合时，矩形APMN的面积最大，S矩形APMN=AP×AN，AP=BF，解答出即可．
    解答：解：（1）∵AE=50cm，EF=60cm，点B是线段EF的中点，
    ∴BE=30cm，
    ∴AB=40cm；

    （2）∵∠E=∠G，∠ABE=∠HEG，
    ∴△ABE∽△HDG，
    ∴
    BE
    AB
    =
    DG
    HD
    ，即
    30
    40
    =
    60-40
    DH
    ，
    得，DH=
    80
    3
    cm；

    （3）当AP=BF，N、M分别和B、F重合时，
    即，AP=BF=30cm时，矩形APMN的面积最大，
    S矩形APMN=AP×AN=30×40=1200cm2；
    答：（1）正方形ABCD的边长是40cm；
    （2）DH的长是
    80
    3
    cm；
    （3）AP=30cm时，矩形APMN的面积最大，最大面积是1200cm2．
    点评：本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，相似三角形的判定和性质，要注意的是（3）中，要确定P点的位置进行求解．
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    （1）求FC的长；
    （2）利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x（cm）为多少时，矩形的面积y（cm2）最大？最大面积是多少？
    （3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长．
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    （1）利用图②，求FC的长；
    （2）如图③，若矩形的一个顶点P在线段EF上，P点到BG的距离为PN，试证明：
    PN
    NG
    =
    2
    3
    ；
    （3）利用图③，求顶点B所对的顶点P到BC的距离PN为多少时，矩形PMBN的面积最大？最大面积是多少？

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    （2）求DH的长；
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