Question

【题目】如图①，在平面直角坐标系中，直线：分别与轴、轴交于点、，且与直线：交于点，以线段为边在直线的下方作正方形，此时点恰好落在轴上．

（1）求出三点的坐标．

（2）求直线的函数表达式．

（3）在（2）的条件下，点是射线上的一个动点，在平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）存在，，，．

【解析】

（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B，C的坐标，联立直线l1，l2的解析式成方程组，通过解方程组可求出点A的坐标；
（2）过点A作AF⊥y轴，垂足为点F，则△ACF≌△CDO，利用全等三角形的性质可求出点D的坐标，根据点C，D的坐标，利用待定系数法即可求出直线CD的解析式；
（3）分OC为对角线及OC为边两种情况考虑：①若OC为对角线，由菱形的性质可求出点P的纵坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点P1的坐标；②若OC为边，设点P的坐标为（m，2m＋6），分CP＝CO和OP＝OC两种情况，利用两点间的距离公式可得出关于m的方程，解之取其负值，再将其代入点P的坐标中即可得出点P2，P3的坐标．

（1）∵直线：，

∴当时，；当时，，

∴，，

解方程组：得：，

∴点的坐标为；

（2）如图1，作，则，

∵四边形为正方形，

∴，

∵，，

∴，

∵

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴

设直线的解析式为，

将、代入得：，

解得：，

∴直线的解析式为

（3）存在

①以为对角线时，如图2所示，

则PQ垂直平分CO，

则点P的纵坐标为：，

当y=3时，，解得：x=

∴点；

②以为边时，如图2，设点P（m，2m+6），

当CP=CO时，，

解得：（舍去）

∴，

当OP=OC时，，

解得：（舍去）

∴

综上所述，在平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，，，．