Question

已知：A（m，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（x＞0）的交点．
（1）求m的值；
（2）若该一次曲线的图象分别与x、y轴交于E、F两点，且点A恰为E、F的中点，求该直线的解析式；
（3）在（x＞0）的图象上另取一点B，作BK⊥x轴于K，在（2）的条件下，在线段OF上取一点C，使FO=4CO．试问：在y轴上是否存在点P，使得△PCA和△PBK的面积相等？若存在，求出所有可能的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把点A的横纵坐标代入反比例函数的解析式即可求得m的值；
（2）由A点向两坐标轴作垂线，利用相似三角形的性质求得点E、F的坐标，利用待定系数法求得函数的解析式即可；
（3）设出B的坐标，利用CO和FO的关系求得C点的坐标，再利用两三角形面积相等得到有关y的关系式求得y的值即可作为P点的纵坐标．
解答：解：（1）∵A（m，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=的交点
∴2=，
∴m=；

（2）由（1）得A（，2），
∴2=k+b，
   由题意可知：A是线段EF的中点，且E（-，0）F（0，b）则：
   A（，），
∴=2即b=4，
∴k=-，
∴一次函数y=kx+b的解析式为：y=-+4；

（3）由题意知：B、F坐标分别为（k，），（0，4），
    又4CO=FO，
∴C点坐标为（0，1），
设P点坐标为（0，y），则S_△PCA=×|y-1|；
又BK⊥x轴于k，S_△PBK=；
∵S_△PCA=S_△PBK，
∴|y-1|=××k，
∴y=-1或3．
即存在点P且P点坐标为（0，-1）或（0，3）．
点评：本题考查了一次函数的与反比例函数的综合知识，特别是题目中的存在性问题更是近几年中考的重点考题．