Question

已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax²+2（2a-1）x+4（a-3）=0至少有一个整数根，求a的值．

Answer 1

分析：首先将原方程变形为（x+2）²a=2（x+6），进而分析x+2，以及a的取值，得出所有的可能结果．

解答：解：将原方程变形为（x+2）²a=2（x+6）．
显然x+2≠0，于是a=

2(x+6)

(x+2)2

由于a是正整数，所以a≥1，即

2(x+6)

(x+2)2

≥1
所以x²+2x-8≤0，
（x+4）（x-2）≤0，
所以-4≤x≤2（x≠-2）．
当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，

14

9

，1
∴a=1，3，6，10
说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；
当a=3，6，10时，方程只有一个整数根．
综上所述，当a=1，3，6，10时，关于x的一元二次方程ax²+2（2a-1）x+4（a-3）=0至少有一个整数根．

点评：此题主要考查了在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解，题目比较典型．