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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网△ABC是边长为4的等边三角形，在射线AB和BC上分别有动点P、Q，且AP=CQ，连接PQ交直线AC于点D，作PE⊥AC，垂足为E．
    （1）如图，当点P在边AB（与点A、B不重合）上，问：
    ①线段PD与线段DQ之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．
    ②随着点P、Q的移动，线段DE的长能否确定？若能，求出DE的长；若不能，简要说明理由；
    （2）当点P在射线AB上，若设AP=x，CD=y，求：
    ①y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
    ②当x为何值时，△PCQ的面积与△ABC的面积相等．
    分析：（1）①作PG∥BC交AC于G，DH∥AB交BQ于H，推出△DHC，△APG为等边三角形根据三角形全等，求出DP=DQ；②根据AE=EG，GD=DC，即可算出DE=
    1
    2
    AC；
    （2）分为两种情况来考虑，当P点在线段AB上或在射线AB上，根据等边三角形的性质和全等三角形的性质找到相等关系，经过等量转换即可求出答案；
    （3）分两种情况进行分析，当0＜x≤4时，无解；当x＞4时，结合图形找相等面积的三角形，求出PE的长度，用含x的代数式表示出△PCQ的面积，即可根据题意得出关于x的一元二次方程，解方程，得x的值．
    解答：解：（1）证明：①作PG∥BC交AC于G，DH∥AB交BQ于H，
    ∵△ABC是边长为4的等边三角形，
    ∴△DHC，△APG为等边三角形，
    ∵AP=CQ，
    ∴PG=CQ，∠PGC=∠DCQ=120°，
    ∵∠GPD=∠Q，
    ∵△PDG≌△QDC，
    ∴DP=DQ，
    ②能确定，
    ∵PE⊥AC，
    ∴AE=EG，
    ∵GD=DC，AB=BC=AC=4，
    ∴GD+EG+AE+DC=4，
    ∵2（GD+EG）=4，
    即DE=2；

    （2）①∵PD=DQ，DH∥AB，AP=x，CD=y，
    ∴DH=
    1
    2
    BP，
    ∵AB=4，
    ∴BP=4-x或BP=x-4，精英家教网
    ∴y=
    1
    2
    （4-x）=2-
    1
    2
    x（0＜x≤4）或y=
    1
    2
    x-2（x＞4），
    ②当0＜x≤4时，无解，
    当x＞4时，
    ∵PE⊥AC，∠A=60°AP=x，
    ∴PE=sin60°×x=
    		3
    2
    x，
    ∵AB=BC=AC=4，
    ∴S△ABC=4
    		3
    ，
    ∵PD=DQ，
    ∴结合图形可知S△PCQ=2S△PDC=2×
    y•PE
    2
    ，
    ∴2×
    y•PE
    2
    =4
    		3
    ，
    ∴（
    1
    2
    x-2）×
    		3
    2
    x=4
    		3
    ，
    化简得：x2-4x-16=0，
    解得：x1=2-2
    		5
    （不符合题意，舍去）   x2=2+2
    		5
    ，
    ∴x=2+2
    		5
    ，
    ∴当x=2+2
    		5
    时，△PCQ的面积与△ABC的面积相等．
    点评：本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、根据实际问题列一次函数关系式等，本题关键在于作出辅助线，找出等量关系
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（　　）
    A、4cm2
    B、2
    		3
    cm2
    C、3
    		3
    cm2
    D、4
    		3
    cm2

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与精英家教网y轴的正半轴相交于点E，点B（-1，0），P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）
    （1）求点A、E的坐标；
    （2）若y=-
    6
    		3
    7
    x2+bx+c过点A、E，求抛物线的解析式；
    （3）连接PB、PD，设L为△PBD的周长，当L取最小值时，求点P的坐标及L的最小值，并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于M交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为（　　）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P′在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点0为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过相似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），其中点0叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角．
    （1）如图1，将△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，这个旋转相似变换记为A（
    2
    2
    ，
    60°
    60°
    ）；
    （2）如图2，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换A（
    		3
    ，90°）得到△ADE，求线段BD的长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•河东区一模）如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿射线AB，BC运动，且它们的速度都为1cm/s．
    （Ⅰ）当△PQB是直角三角形时，求AP的长；
    （Ⅱ）连接AQ，CP交于点M，则在点P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；

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