Question

如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），与y轴交于点C(0，-3)，且OA=2OC．
（1）求这条抛物线的表达式及顶点M的坐标；
（2）求的值；
（3）如果点D在这条抛物线的对称轴上，且∠CAD=45º，求点D的坐标.

Answer 1

(1)M(2,4)；(2)tan∠MAC=；(3)，.

解析试题分析：
（1）根据与y轴的交点C的坐标（0，-3）就可以求出OC的值及c的值，进而求出OA的值及A的坐标，由待定系数法就可以求出b的值而求出解析式及定点坐标；
（2）如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为点H，交AC于点N，过点N作NE⊥AM于点E，垂足为点E．在Rt△AHM中，HM=AH=4，就可以求出AM的值，再由待定系数法求出直线AC的解析式，就可以求出点N的坐标，进而求出MN的值，由勾股定理就可以求出ME及NE的值，从而求出AE的值就可以得出结论；
（3）如图2，分类讨论，当D点在AC上方时，根据角之间的关系就可以求出∠D₁AH=∠CAM，当D点在AC下方时，∠MAC=∠AD₂M就可以求出点D的坐标．
试题解析：
∵C(0，-3)，∴OC=3.
∵OA=2OC,∴OA=6.
∵，点A在点B右侧，抛物线与y轴交点C(0，-3)
∴.
∴.
∴，∴.
（2）过点M作MH⊥x轴，垂足为点H，交AC于点N，过点N作NE⊥AM于点E，垂足为点E.

在Rt△AHM中,HM=AH=4,,.求得直线AC的表达式为．
∴N（2,-2）．∴MN=2.
在Rt△MNE中,∴,
∴.
在Rt△AEN中,.
（3）?当D点在AC上方时，
∵,
又 ∵,
∴.
∴
∵点在抛物线的对称轴直线x=2上,
∴,∴.
在Rt△AH中,.
∴.
?当D点在AC下方时，
∵，
又 ∵∠AMH=∠D₂AM+∠AD₂M=45º，
∴.
∴
在Rt△中，.
∴.

综上所述：，.
考点：二次函数综合题．