Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．
（1）求点B的坐标；
（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ为定值；

（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）B（）．

（2）当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°．
（3）P的坐标为（）或（）．

(1)因为OA=2，△AOB为等边三角形，所以B的坐标为（√3,1）.
（2）因为∠PAQ和∠OAB都是60º，所以∠PAO=∠QAB，△PAQ和△OAB都是等边三角形，所以PA=QA，OA=BA，所以△PAO≌△QAB，所以∠ABQ=∠AOP=90º,所以为定值.
（3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行．①当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，②当点P在x轴正半轴上时，点Q在点B的上方，根据这两种情况分别求出P的坐标